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🔥 内容介绍

一、引言

在众多工程应用场景中，如机器人运动控制、工业生产过程中的位置跟踪等，常常会遇到单输入单输出（SISO）非线性系统的轨迹跟踪问题。由于系统的非线性特性以及对其精确模型的未知性，传统控制方法往往难以实现高精度的轨迹跟踪。基于神经网络的迭代学习控制（ILC）算法为解决这类问题提供了有效的途径。本文将着重探讨基于广义回归神经网络（GRNN）和径向基函数神经网络（RBFNN）的迭代学习控制算法，即 GRNN - RBFNN - ILC 算法，用于未知 SISO 非线性系统的轨迹跟踪。

二、理论基础

（一）迭代学习控制（ILC）

1. 基本原理：迭代学习控制的核心思想是利用系统在以往迭代过程中的跟踪误差信息，通过特定的学习律来修正当前迭代的控制输入，使得系统输出在每次迭代中逐渐逼近期望轨迹。对于一个离散时间系统，假设第 k 次迭代时系统的输入为 uk(n)，输出为 yk(n)，期望轨迹为 yd(n)，其中 n 表示时间步。ILC 的学习律通常可以表示为 uk+1(n)=uk(n)+Δuk(n)，这里 Δuk(n) 是根据第 k 次迭代的误差 ek(n)=yd(n)−yk(n) 来确定的。通过不断迭代，误差 ek(n) 逐渐减小，系统输出越来越接近期望轨迹。

2. 优势与适用场景：ILC 特别适用于重复性任务，例如机器人在固定路径上的多次运动。它不需要精确的系统模型，仅依靠系统的输入输出数据进行学习和调整，这使得它在面对未知非线性系统时具有很强的适应性。

（二）广义回归神经网络（GRNN）

1. 网络结构与原理：GRNN 是一种基于径向基函数的神经网络，其网络结构包括输入层、模式层、求和层和输出层。输入层接收输入变量 x，模式层计算输入与各神经元中心的距离，并通过径向基函数进行转换。常用的径向基函数为高斯函数 φi(x)=exp(−2σ2∥x−ci∥2)，其中 ci 是第 i 个神经元的中心，σ 是光滑因子。求和层分为两个部分，一个部分对模式层的输出进行加权求和，得到分子 N；另一个部分对模式层的输出直接求和，得到分母 D。输出层计算输出值 y=DN。GRNN 具有良好的非线性映射能力，并且在样本数据较少的情况下也能给出合理的预测结果。

2. 在控制中的应用潜力：在未知 SISO 非线性系统的轨迹跟踪中，GRNN 可以用于逼近系统的未知非线性特性。通过学习系统的输入输出数据，GRNN 能够建立输入与期望输出之间的映射关系，为迭代学习控制提供更准确的控制输入修正信息。

（三）径向基函数神经网络（RBFNN）

1. 网络架构与工作机制：RBFNN 同样由输入层、隐藏层和输出层组成。输入层将输入信号传递到隐藏层，隐藏层中的神经元以径向基函数作为激活函数。与 GRNN 类似，常用高斯函数作为径向基函数。隐藏层神经元计算输入与各自中心的距离，并通过径向基函数进行非线性变换。输出层对隐藏层的输出进行线性组合，得到最终的输出。RBFNN 的优点在于它能够以任意精度逼近任何连续函数，且具有学习速度快、结构简单等特点。

2. 与 ILC 结合的优势：在 ILC 框架下，RBFNN 可以作为一个关键组件来估计系统的动态特性。它能够根据系统的当前状态和以往迭代的信息，快速准确地调整控制输入，从而提高轨迹跟踪的精度。与 GRNN 不同，RBFNN 更侧重于对系统动态变化的实时响应，两者结合可以发挥各自的优势，提升整体控制性能。

三、GRNN - RBFNN - ILC 算法设计

（一）算法整体框架

1. 初始化：设定迭代次数 K，初始化控制输入 u0(n)，以及 GRNN 和 RBFNN 的相关参数，如 GRNN 的光滑因子 σGRNN，RBFNN 隐藏层神经元的中心 ci 和宽度 σRBFNN 等。

2. 迭代过程：在每次迭代 k 中，系统根据当前控制输入 uk(n) 产生输出 yk(n)。计算跟踪误差 ek(n)=yd(n)−yk(n)。然后，GRNN 根据以往迭代的输入输出数据以及当前误差，对系统的未知非线性部分进行逼近，得到一个修正项 ΔuGRNN,k(n)。同时，RBFNN 根据系统的当前状态和误差信息，估计系统动态变化，生成另一个修正项 ΔuRBFNN,k(n)。最终，更新控制输入 uk+1(n)=uk(n)+αΔuGRNN,k(n)+βΔuRBFNN,k(n)，其中 α 和 β 是权重系数，用于平衡 GRNN 和 RBFNN 的贡献。重复这个过程，直到达到预设的迭代次数 K。

（二）GRNN 模块设计

1. 数据收集与预处理：在每次迭代中，收集系统的输入 uk(n) 和输出 yk(n) 数据。对这些数据进行归一化处理，将其映射到 [0,1] 区间，以提高 GRNN 的学习效率和稳定性。

2. 训练与修正项计算：将归一化后的输入输出数据作为 GRNN 的训练样本，根据 GRNN 的原理计算模式层、求和层和输出层的结果。通过分析误差 ek(n) 与 GRNN 输出之间的关系，确定修正项 ΔuGRNN,k(n)。例如，可以通过最小化误差的平方和来调整 GRNN 的参数，使得 GRNN 能够更准确地预测控制输入的修正量。

（三）RBFNN 模块设计

1. 状态表示与输入构建：选择合适的系统状态变量来描述系统的当前状态。这些状态变量可以包括当前输出 yk(n)、前一时刻的控制输入 uk(n−1) 以及误差 ek(n) 等。将这些状态变量作为 RBFNN 的输入。

2. 训练与动态估计：RBFNN 根据输入的状态变量，通过隐藏层的径向基函数变换和输出层的线性组合，估计系统的动态变化。在每次迭代中，根据当前的误差 ek(n) 对 RBFNN 进行训练，更新其权重和隐藏层参数，以更好地适应系统的动态特性。通过 RBFNN 的输出得到修正项 ΔuRBFNN,k(n)，用于调整控制输入。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 李傲雪.基于数据驱动的无人驾驶汽车弯道行驶仿人轨迹规划与仿人转向模型研究[D].江苏大学[2026-01-10].

[2] 王小川.MATLAB神经网络43个案例分析[M].北京航空航天大学出版社,2013.

[3] 姚李孝,刘学琴,伍利,等.基于广义回归神经网络的电力系统中长期负荷预测[J].电力自

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