一、动力学模型构建

1. 运动学模型

差速转向机器人的核心是通过左右轮速度差实现转向。设：

• 轮距：$L$（两轮中心间距）
• 轮速：左轮 $v_l$、右轮 $v_r$
• 线速度：$v=\frac{v_l+v_r}{2}$
• 角速度：$\omega =\frac{v_r-v_l}{L}$

位姿更新方程：

其中 $x,y,\theta$为机器人位姿。

2. 动力学模型

考虑外部负载（如质量 $m$和转动惯量 $I$）的影响，动力学方程为：

• 驱动力：$F=(v_r+v_l)\cdot r/2$（$r$为轮半径）

• 摩擦力：$F_{friction}={\mu }_{c}sgn(v)+{\mu }_{v}v$（库伦+粘滞摩擦）

• 转向阻力矩：${\tau }_{resistance}=k_t\cdot {\omega }^2$（与角速度平方相关）。

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二、自适应控制器设计

1. 控制目标

跟踪参考轨迹 $x_{ref},y_{ref},{\theta }_{ref}$，最小化误差：

2. 自适应PID控制

通过在线调整 $K_p,K_i,K_d$适应负载变化：

参数更新律（基于李雅普诺夫稳定性）：

其中 ${\gamma }_p,{\gamma }_i,{\gamma }_d$为自适应增益。

3. 模型参考自适应控制（MRAC）

参考模型输出 $ym(t)$与实际输出 $y(t)$的误差驱动参数调整：

• $\theta$：控制器参数向量

• $\Gamma$：正定增益矩阵

• $\varphi (t)$：回归向量。

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三、MATLAB仿真实现

1. 参数设置

% 机器人参数
L = 0.3;      % 轮距 (m)
r = 0.05;     % 轮半径 (m)
m = 2;        % 质量 (kg)
I = 0.1;      % 转动惯量 (kg·m²)
mu_c = 0.15;  % 库伦摩擦系数
mu_v = 0.02;  % 粘滞摩擦系数
Kt = 0.01;    % 转向阻力系数

% 控制参数
Kp = 1.2; Ki = 0.3; Kd = 0.05;  % 初始PID参数
gamma = 0.1;                    % 自适应增益

2. 动力学模型仿真

% 状态变量：[x, y, theta, v, omega]
state = [0; 0; 0; 0.5; 0.2];  % 初始状态

% 时间参数
dt = 0.01;  % 时间步长
t_end = 10; % 仿真时间
t = 0:dt:t_end;

% 参考轨迹（圆形路径）
x_ref = 1.5*cos(0.2*t);
y_ref = 1.5*sin(0.2*t);
theta_ref = 0.2*t;

% 存储结果
x_hist = zeros(size(t));
y_hist = zeros(size(t));
theta_hist = zeros(size(t));

3. 自适应控制循环

for k = 1:length(t)
    % 当前状态
    x = state(1); y = state(2); theta = state(3);
    v = state(4); omega = state(5);
    
    % 计算控制输入（自适应PID）
    e = [x_ref(k) - x; y_ref(k) - y; theta_ref(k) - theta];
    u = Kp*e(1) + Ki*e(2) + Kd*e(3);
    
    % 参数更新（李雅普诺夫律）
    Kp = Kp - gamma * e(1) * sign(e(1));
    Ki = Ki - gamma * e(2) * sign(e(2));
    Kd = Kd - gamma * e(3) * sign(e(3));
    
    % 动力学方程积分
    F = (v + v) * r / 2;  % 左右轮速度相同，无转向
    F_friction = mu_c*sign(v) + mu_v*v;
    tau = Kt * omega^2;   % 转向阻力矩
    
    dv = (F - F_friction)/m;
    domega = (u - tau)/I;
    
    % 更新状态
    state(4) = v + dv*dt;
    state(5) = omega + domega*dt;
    state(1) = x + v*cos(theta)*dt;
    state(2) = y + v*sin(theta)*dt;
    state(3) = theta + omega*dt;
    
    % 存储数据
    x_hist(k) = state(1);
    y_hist(k) = state(2);
    theta_hist(k) = state(3);
end

4. 结果可视化

figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x_hist, 'r', t, x_ref, 'b--');
title('X方向跟踪效果');
xlabel('时间 (s)'); ylabel('位置 (m)');
legend('实际', '参考');

subplot(2,1,2);
plot(t, y_hist, 'g', t, y_ref, 'm--');
title('Y方向跟踪效果');
xlabel('时间 (s)'); ylabel('位置 (m)');
legend('实际', '参考');

参考代码 差速转向移动机器人基于速度的动力学模型与自适应控制器 www.youwenfan.com/contentcsr/100467.html

四、性能优化与调参

1. 负载突变测试：

   • 在 $t=5$秒时突增质量 $m=5kg$，观察自适应PID的恢复能力。

2. 参数敏感性分析：

   • 调整 $\gamma$值（如 $0.05\to 0.2$），对比收敛速度。

3. 摩擦模型改进：

   • 引入动态摩擦模型（如Stribeck摩擦），提升低速跟踪精度。

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五、扩展应用

1. 多传感器融合：

   • 结合IMU和编码器数据，通过卡尔曼滤波估计状态。

2. 路径规划结合：

   • 使用A或RRT生成全局路径，再通过自适应控制器跟踪。

3. 硬件在环仿真：

   • 在ROS/Gazebo中搭建机器人模型，验证算法实时性。

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六、总结

通过结合动力学模型与自适应PID控制，差速转向机器人可在负载变化下实现高精度轨迹跟踪。核心在于：

• 模型精确性：需考虑惯性、摩擦等非线性因素。

• 参数自适应：通过在线估计动态调整控制增益。

• 鲁棒性验证：需测试不同负载和干扰场景下的性能。