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引言 —— 非完整性机器人路径规划的痛点与破局思路

1.1 路径规划的核心挑战：非完整性机器人的 “运动枷锁”

在智能机器人蓬勃发展的当下，非完整性机器人在众多领域扮演着关键角色，汽车自动驾驶系统，借助传感器与算法实现自主导航；物流仓库中的 AGV 小车，高效搬运货物；无人机则在测绘、巡检等任务中大展身手 。但这类机器人受自身运动学特性制约，存在严格的曲率约束。以汽车为例，转弯时不能瞬间转向，需遵循一定转弯半径；无人机飞行时，也有最大转向角度与曲率限制。

传统的快速探索随机树（RRT）算法，虽能在复杂环境快速搜索出从起点到目标点的可行路径，可生成的路径往往由众多直线段连接而成，存在大量拐点，曲率变化突兀。这对非完整性机器人而言，在执行路径时需频繁调整姿态，易导致运动不稳定，甚至失控，在狭窄空间或高速行驶场景，风险更高。而且在复杂环境下，机器人既要避开障碍物，又要保证路径平滑，传统 RRT 算法难以兼顾。

1.2 贝塞尔 - RRT 融合算法：从理论到实践的破局方案

为解决传统 RRT 算法的弊端，本文提出将贝塞尔曲线与 RRT 算法融合。贝塞尔曲线作为一种参数曲线，通过控制点能灵活生成平滑曲线，在计算机图形学、动画设计等领域广泛应用。把它引入机器人路径规划，能对 RRT 算法生成的粗糙路径进行平滑处理。

该融合算法原理在于，RRT 算法先在状态空间随机采样并扩展树结构，快速找到初步可行路径；再利用贝塞尔曲线对路径点进行插值，生成平滑曲线。在生成贝塞尔曲线时，严格考虑非完整性机器人的曲率约束，通过调整控制点位置与数量，确保曲线曲率在机器人可承受范围。这样一来，融合算法既保留 RRT 算法快速探索能力，又借助贝塞尔曲线实现路径平滑，满足机器人曲率约束。

1.3 本文核心内容与价值

本文将深入剖析贝塞尔曲线与 RRT 算法融合的原理与实现细节。详细介绍如何基于贝塞尔曲线构建满足非完整性机器人曲率约束的路径规划模型，包括如何确定贝塞尔曲线控制点、计算曲线曲率以及根据曲率约束优化路径。通过 Matlab 仿真，直观展示融合算法在不同场景下的路径规划效果，并与传统 RRT 算法对比，验证其优越性。

这一研究成果对非完整性机器人路径规划技术发展有重要推动作用。为机器人研发者与相关领域工程师提供新思路与方法，在实际应用中，能提高机器人运动稳定性与效率，降低能耗与磨损，拓展非完整性机器人在更多复杂场景的应用，如工业自动化、智能交通、物流配送等，助力产业智能化升级 。

一级标题二：核心理论基础 —— 读懂路径规划的三大关键要素

核心理论基础 —— 读懂路径规划的三大关键要素

2.1 非完整性机器人与曲率约束：不可忽视的运动学底线

非完整性机器人，区别于完整性机器人，其运动受到自身结构与运动学方程的严格限制，不能在任意方向瞬间改变运动状态。汽车便是典型的非完整性机器人，转弯时，受转向机构与轮胎特性制约，存在最小转弯半径。当转弯半径小于这个最小值，轮胎会与地面产生侧向滑动，不仅影响行驶稳定性，还会加速轮胎磨损。同样，无人机飞行时，其姿态调整与转向也有最大角速度与曲率限制，超出限制可能导致飞行失控。

这种曲率约束在机器人运动规划中至关重要。曲率，简单理解为曲线弯曲程度的度量，在机器人路径规划里，路径曲率需始终保持在机器人最大允许曲率范围内，才能确保运动稳定与可控。假设最大允许曲率为 Kmax，若路径某点曲率 K > Kmax，机器人在该点运动时就可能出现打滑、失控等问题。在狭窄弯道场景，汽车若按照传统路径规划算法生成的小半径转弯路径行驶，很容易因超出自身曲率极限而发生侧滑，危及行车安全。所以，在为非完整性机器人规划路径时，必须将曲率约束作为核心考量因素，确保路径全程满足机器人运动学条件 。

2.2 RRT 算法原理：随机采样探索的路径搜索利器

快速扩展随机树（RRT）算法，作为一种基于采样的路径规划算法，在复杂环境路径搜索中优势显著。它的基本原理是在状态空间中，以随机采样的方式构建一棵不断扩展的树结构。

算法初始化时，将起点作为树的根节点。随后迭代过程中，首先在搜索空间随机采样一个点 xrand，接着从已构建的树中找到距离 xrand 最近的节点 xnear，然后从 xnear 向 xrand 方向扩展一定步长，生成新节点 xnew。扩展步长是重要参数，步长过小，算法搜索效率低；步长过大，可能导致路径粗糙，错过可行路径。生成 xnew 后，需进行碰撞检测，若 xnew 与环境中的障碍物发生碰撞，就放弃该节点；若不碰撞，则将 xnew 添加到树中，并将其父节点设为 xnear。重复这些步骤，直至树扩展到目标点附近，找到一条从起点到目标点的可行路径 。

RRT 算法无需对环境进行复杂建模，能快速探索高维空间，适用于复杂环境下的路径规划，在机器人运动规划、机械臂控制等领域广泛应用。但原生 RRT 算法生成的路径存在明显缺陷，由于是通过节点间直线连接形成路径，存在大量冗余节点与尖锐拐点，路径不光滑，曲率变化不连续，无法直接应用于非完整性机器人，需进一步优化处理 。

2.3 贝塞尔曲线特性：让路径 “平滑过渡” 的数学工具

贝塞尔曲线是一种在计算机图形学、动画设计等领域广泛应用的参数化多项式曲线，通过一组控制点定义曲线形状，具有独特的数学性质与几何特性，能实现路径的平滑过渡 。

其数学定义基于伯恩斯坦多项式，n 阶贝塞尔曲线表达式为：P (t)=∑Pi⋅Bi,n (t)，i 从 0 到 n ，其中 P (t) 是曲线上的点，t 取值范围是 [0,1] ，Pi 是控制点，Bi,n (t) 是伯恩斯坦基函数，由组合数与幂函数构成。控制点数量与位置决定曲线形状，曲线起点和终点分别是第一个和最后一个控制点，且曲线形状受中间控制点影响 。

在路径规划中，常用二阶和三阶贝塞尔曲线。二阶贝塞尔曲线由三个控制点定义，公式为：B (t)=(1−t)²P0 + 2 (1−t) tP1 + t²P2 ，t 取值范围是 [0,1] ，能生成一段抛物线形的平滑过渡曲线；三阶贝塞尔曲线由四个控制点定义，公式为：B (t)=(1−t)³P0 + 3 (1−t)²tP1 + 3 (1−t) t²P2 + t³P3 ，t 取值范围是 [0,1] ，可更精确描述复杂路径形态，通过调整控制点位置，能灵活改变曲线曲率与走向。

贝塞尔曲线最大优势是路径连续且曲率平滑，在机器人路径规划中，可对 RRT 算法生成的粗糙路径进行平滑处理。将 RRT 路径点转换为贝塞尔曲线控制点，生成平滑曲线，消除路径拐点，保证曲率连续性，满足非完整性机器人曲率约束，使机器人运动更平稳、高效 。

一级标题三：核心算法设计 —— 贝塞尔曲线与 RRT 的融合之道

核心算法设计 —— 贝塞尔曲线与 RRT 的融合之道

3.1 贝塞尔 - RRT 融合算法的核心思想

贝塞尔 - RRT 融合算法以 RRT 算法为基础框架，在树节点扩展过程中，用贝塞尔曲线替代传统的直线扩展方式，实现路径的平滑生成与优化 。

传统 RRT 算法在状态空间随机采样，从已有树节点中选取距离采样点最近的节点，然后以直线连接两者，逐步扩展树结构。这种方式虽能快速探索空间找到可行路径，但生成路径呈折线状，曲率不连续，对有曲率约束的非完整性机器人不友好。

融合算法利用贝塞尔曲线优良的平滑特性改进这一缺陷。在确定最近邻节点与采样点后，不是简单直线连接，而是通过精心选择中间控制点，构造二阶或三阶贝塞尔曲线。这些控制点位置决定曲线形状与走向，使曲线能在满足非完整性机器人曲率约束前提下，实现从父节点到采样点的平滑过渡 。

为确保生成的贝塞尔曲线路径符合机器人运动学要求，算法引入严格的曲率约束检验机制。在生成曲线后，实时计算曲线各点曲率，与机器人最大允许曲率阈值对比。若某点曲率超出阈值，就调整控制点位置重新生成曲线，直到整条曲线曲率都在允许范围内 。这样，贝塞尔 - RRT 融合算法将 RRT 算法的快速探索能力与贝塞尔曲线的平滑特性结合，在搜索路径时同步实现路径平滑与曲率约束验证，生成的路径既能满足机器人运动学限制，又能适应复杂环境，为非完整性机器人提供高效、可靠的路径规划方案 。

3.2 算法执行流程：从初始化到路径生成的五步走

3.2.1 步骤 1：RRT 树初始化与环境建模

算法开始，需对 RRT 树进行初始化，并对机器人所处环境建模。以机器人起始位置为根节点，构建初始 RRT 树，这是路径搜索的起点 。同时，搭建环境模型，常见的是栅格地图或基于几何模型的障碍物表示。栅格地图将环境划分为大小相同的栅格，每个栅格标记为可通行或障碍物；几何模型则用几何形状（如矩形、圆形）表示障碍物。

假设机器人在二维平面运动，环境中有多个矩形障碍物。构建栅格地图时，设定每个栅格边长为 0.5 米，根据障碍物位置和大小，将对应栅格标记为障碍物。这样，机器人在路径搜索时，通过查询栅格地图，就能判断某个位置或路径段是否可行。初始化后的 RRT 树只有一个根节点，后续将以此为基础，在环境模型中不断扩展，探索可行路径 。

⛳️ 运行结果

📣 部分代码

rd = randi(10);

dx = abs(pt(2) - goal(2));

dy = abs(pt(1) - goal(1));

if dx*dx + dy*dy < 200

    shot = true;

end

end

🔗 参考文献

[1]孟丽,程金.基于改进RRT算法的机器人路径规划[J].工业仪表与自动化装置, 2025(4):79-83.

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🌈 各类智能优化算法改进及应用

生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位

🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

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