经典力学​

牛顿三大定律、万有引力定律、伽利略相对性原理。

宏观、低速（远低于光速）物体的运动规律。是工程、天文学等领域的基础。

分析力学​

最小作用量原理、达朗贝尔原理、拉格朗日方程、哈密顿原理、正则方程。

以能量和变分为核心，用更普适的数学形式描述力学系统，特别适用于约束系统。

连续介质力学​

质量、动量、能量三大守恒定律，加上描述材料特性的本构关系。

为固体力学和流体力学提供统一的理论框架，研究变形体在力作用下的宏观行为。

统计力学​

刘维尔定理、等概率假设、玻尔兹曼方程、系综理论。

从微观粒子（原子、分子）的运动和相互作用出发，解释和推导宏观物质的热力学性质。

量子力学​

薛定谔方程、算符、对易关系、海森堡不确定性原理。

描述微观粒子（原子、亚原子粒子）的运动规律，是现代物理学、化学和材料科学的支柱。

相对论力学​

狭义相对论（洛伦兹变换）、广义相对论（爱因斯坦场方程）。

研究高速（接近光速）和强引力场下的物质运动规律，是现代宇宙学和天体物理学的基础。

热力学​

热力学三定律、熵增原理。

研究热现象、能量转换以及系统平衡态的性质，是工程热物理、化学和材料科学的基石。

固体力学​

弹性力学、塑性力学、断裂力学、本构理论。

研究可变形固体在外力作用下的应力、应变、变形、破坏和稳定性。

流体力学​

纳维-斯托克斯方程、伯努利原理、边界层理论。

研究液体和气体的运动规律、受力、传热传质以及与固体的相互作用。

空气动力学​

可压缩/不可压缩流动理论、升力与阻力理论、激波理论。

研究空气与物体（飞机、汽车、建筑）的相对运动，是航空航天工程的核心。

水动力学​

波浪理论、势流理论、粘性流动理论。

研究水体的运动、波浪传播、船舶航行阻力、海洋平台载荷等。

岩石力学​

岩体结构理论、强度理论、地应力理论。

研究岩石的力学性质，应用于隧道、矿山、边坡、石油开采和地震研究。

土力学​

有效应力原理、固结理论、莫尔-库仑强度准则。

研究土的工程性质，应用于地基、堤坝、基坑、地下工程的设计与分析。

计算力学​

有限元法、有限差分法、有限体积法、分子动力学。

利用计算机和数值方法求解力学问题，是几乎所有工程设计的核心工具。

实验力学​

相似理论、量纲分析、光测/电测/声测技术。

通过物理实验方法测量和分析材料的力学行为，是验证理论和仿真结果的关键。

结构力学​

结构分析理论、能量原理、力法/位移法。

研究工程结构（桥梁、建筑、机械）在载荷下的内力、变形、稳定性与振动。

材料力学​

材料强度理论、梁理论、柱理论、能量法。

研究工程材料在力、热等载荷下的强度、刚度和稳定性，是机械、土木设计的基础。

振动力学​

单/多自由度系统振动理论、模态分析、随机振动。

研究系统的振荡现象，应用于减振降噪、故障诊断、精密仪器和地震工程。

断裂力学​

应力强度因子、能量释放率、J积分。

研究含缺陷/裂纹结构的强度和扩展规律，用于评估结构的安全性、寿命和失效。

损伤力学​

损伤变量、损伤演化方程、本构模型。

研究材料内部微缺陷（损伤）的萌生、扩展直至宏观破坏的全过程。

复合材料力学​

细观力学、层合板理论、失效准则。

研究由两种或以上材料组成的复合材料的力学性能和设计方法。

生物力学​

生物固体力学、生物流体力学、运动生物力学。

应用力学原理研究生物体（器官、组织、细胞）的力学特性和功能。

冲击动力学​

应力波理论、动态本构关系、能量吸收理论。

研究材料与结构在高速冲击、爆炸等极端载荷下的动态响应和破坏。

板壳力学​

基尔霍夫-乐甫假设、中厚板理论、大挠度理论。

研究板与壳结构在横向和面内载荷下的弯曲、稳定性和振动行为，是航空、船舶、建筑结构设计的核心。

弹性力学​

平衡方程、几何方程、本构方程、应力函数。

研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移，是固体力学的理论基础，为结构分析提供精确解。

塑性力学​

屈服准则、流动法则、硬化模型、滑移线理论。

研究材料在超过弹性极限后发生不可逆变形的规律，应用于金属成型、结构极限承载力和岩土工程。

疲劳力学​

S-N曲线、断裂力学方法、损伤累积理论。

研究材料或结构在循环载荷下裂纹萌生与扩展的规律，是预测机械、航空航天构件寿命的关键。

转子动力学​

临界转速、不平衡响应、稳定性分析。

研究旋转机械（如涡轮机、发电机）的振动、稳定性及与支撑系统的相互作用。

接触力学​

赫兹接触理论、库仑摩擦定律、分形接触模型。

研究两个或多个变形体在压力作用下接触区域的应力、应变分布和摩擦行为，应用于轴承、齿轮、密封设计。

摩擦学​

粘着摩擦理论、磨损机理、润滑理论。

研究相对运动表面间的摩擦、磨损和润滑问题，服务于机械系统减摩、耐磨和可靠性设计。

弹塑性动力学​

动态本构模型、应力波传播、结构冲击响应。

研究材料和结构在冲击、爆炸等动载荷下的弹塑性行为及能量吸收。

物理力学​

微观-宏观跨尺度理论、非平衡态统计力学。

从物理学基本原理出发，研究高温、高压等极端条件下物质的力学行为。

化学力学​

化学反应-应力耦合理论、扩散-变形耦合。

研究化学过程（如腐蚀、氧化、相变）与力学行为的相互影响。

地质力学​

板块构造理论、断层力学、地震波理论。

应用力学原理研究地球内部的构造运动、应力场和地震成因。

天体力学​

开普勒定律、N体问题、轨道摄动理论。

应用力学原理研究天体（行星、卫星、恒星）的运动和演化。

微纳米力学​

表面效应、尺度效应、量子效应、分子间力。

研究微米/纳米尺度下材料和结构的力学行为，服务于MEMS/NEMS、纳米技术。

物理信息神经网络​

PINN（物理信息神经网络）、深度学习、偏微分方程约束。

将物理定律（如控制方程）嵌入神经网络，用于求解、发现和优化力学问题。

流固耦合力学​

界面耦合条件、分区/整体求解算法。

研究流体与固体相互作用导致的复杂动力学问题，如飞机气动弹性、血液流动。

多尺度力学​

跨尺度关联方法、多尺度建模与模拟。

建立从原子、微观、细观到宏观尺度的力学模型，以揭示材料的本质行为。

多体系统动力学​

绝对节点坐标法、柔性多体动力学、约束违约稳定。

研究由多个刚体或柔性体通过关节、力元连接而成的复杂系统的运动与受力，应用于机器人、车辆、机械系统仿真。

高超声速空气动力学​

高温真实气体效应、稀薄气体效应、气动热力学。

研究飞行器在5马赫以上极高速飞行时的空气动力学、热力学和物理化学变化，是航天再入、高超声速飞行器的设计基础。

等离子体力学​

磁流体力学方程、等离子体动理论、波-粒相互作用。

研究电离气体（等离子体）在电磁场中的运动规律，应用于可控核聚变、空间物理、等离子体推进。

软物质力学​

粘弹性理论、流变学、液晶理论、活性物质理论。

研究聚合物、胶体、泡沫、液晶、生物组织等软材料的力学行为，特点是易变形、响应非线性。

生物力学​

生物固体力学、生物流体力学、运动生物力学。

应用力学原理研究生物体（器官、组织、细胞）的力学特性和功能。

冲击动力学​

应力波理论、动态本构关系、能量吸收理论。

研究材料与结构在高速冲击、爆炸等极端载荷下的动态响应和破坏。

电磁流体力学​

磁流体动力学方程、焦耳加热、洛伦兹力效应。

研究导电流体在电磁场中的运动规律，应用于电磁泵、电磁铸造、天体磁流体和聚变装置设计。

微机电系统力学​

微尺度效应、静电力、Casimir力、压电/热电效应。

研究MEMS/NEMS器件在微纳米尺度下的设计、制造、运动、传感和驱动中的力学问题。

数据驱动力学​

本构模型的数据驱动辨识、模型降阶、数字孪生。

利用实验或模拟产生的大量数据，通过机器学习等方法构建或修正力学模型，实现快速预测和反演。

非平衡态统计力学​

涨落耗散定理、随机过程、非平衡态热力学。

研究系统在远离平衡态时的演化规律，应用于湍流、颗粒流、生物系统等复杂动力学。

颗粒物质力学​

离散元法、力链理论、Jamming转变。

研究由大量离散固体颗粒组成的集合体（如沙堆、谷物、药粉）的流动、堆积和力学性质。

力学超材料​

负泊松比、负刚度、五模式材料、拓扑优化。

设计具有特殊微结构、从而呈现天然材料不具备的超常力学性能（如负参数、可编程性）的人工材料。

物理力学​

微观-宏观跨尺度理论、非平衡态统计力学。

从物理学基本原理出发，研究高温、高压等极端条件下物质的力学行为。

化学力学​

化学反应-应力耦合理论、扩散-变形耦合。

研究化学过程（如腐蚀、氧化、相变）与力学行为的相互影响。

地质力学​

板块构造理论、断层力学、地震波理论。

应用力学原理研究地球内部的构造运动、应力场和地震成因。

天体力学​

开普勒定律、N体问题、轨道摄动理论。

应用力学原理研究天体（行星、卫星、恒星）的运动和演化。

微纳米力学​

表面效应、尺度效应、量子效应、分子间力。

研究微米/纳米尺度下材料和结构的力学行为，服务于MEMS/NEMS、纳米技术。

物理信息神经网络​

PINN（物理信息神经网络）、深度学习、偏微分方程约束。

将物理定律（如控制方程）嵌入神经网络，用于求解、发现和优化力学问题。

流固耦合力学​

界面耦合条件、分区/整体求解算法。

研究流体与固体相互作用导致的复杂动力学问题，如飞机气动弹性、血液流动。

多尺度力学​

跨尺度关联方法、多尺度建模与模拟。

建立从原子、微观、细观到宏观尺度的力学模型，以揭示材料的本质行为。

连续介质力学​

有限元法(FEM)

固体/结构力学分析

静力学/动力学

有限体积法(FVM)

流体力学/传热分析

CFD/传热学

边界元法(BEM)

无限域/边界值问题

声学/电磁学

扩展有限元法(XFEM)

裂纹扩展/界面问题

断裂力学

离散方法​

离散元法(DEM)

颗粒物质/岩土力学

颗粒流/地质力学

光滑粒子法(SPH)

大变形/自由表面流

流体动力学/爆炸

物质点法(MPM)

冲击/侵蚀/相变

多相流/高速冲击

时间积分​

Newmark-β法

结构动力学

时程响应分析

龙格-库塔法

常微分方程积分

动力学/轨迹计算

Verlet积分

分子动力学

原子运动模拟

求解器​

牛顿-拉弗森法

非线性方程求解

几何/材料非线性

广义α法

结构动力学

高频衰减/数值阻尼

隐式/显式积分

时程分析

瞬态动力学

表示方法​

控制方程：
静态平衡：Ku=F
动态方程：Mu¨+Cu˙+Ku=F(t)
其中：
K: 刚度矩阵，M: 质量矩阵
C: 阻尼矩阵，u: 位移向量

构建方法​

1. 前处理：几何建模→网格划分→材料定义→边界条件→载荷定义
2. 单元分析：计算单元刚度矩阵ke、质量矩阵me、载荷向量fe
3. 总体合成：组装全局矩阵K=∑ke，M=∑me，F=∑fe
4. 求解线性/非线性系统
5. 后处理：应力/应变计算，结果可视化

算法名称​

等参元法，混合元法，杂交元法，p型/ h型有限元

数学方程式​

虚功原理：δW=∫V​σ:δϵdV−∫V​f⋅δudV−∫S​t⋅δudS=0
弱形式：∫V​δϵTDϵdV=∫V​δuTfdV+∫S​δuTtdS
离散形式：K=∫Ve​BTDBdV
F=∫Ve​NTfdV+∫Se​NTtdS

计算公式​

1. 线性三角形单元(3节点)：
Ke=AeBTDB
其中B为应变-位移矩阵，Ae为单元面积
2. 线性四面体单元(4节点)：
Ke=VeBTDB
3. 等参四边形单元(4节点)：
$K^e = \int{-1}^1 \int{-1}^1 B^T D B

应用场景​

结构静/动力学分析，热传导，电磁场，声学，多物理场耦合

依赖条件​

软件：ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, OpenFOAM
硬件：HPC集群，内存需求随网格规模增加
数据：CAD模型，材料参数，边界条件，载荷工况

算法思想​

将连续体离散为有限个单元的集合，在每个单元上用简单函数近似真实解，通过变分原理建立代数方程组求解

理论依据​

变分原理，加权残值法，Sobolev空间理论

算法特性​

几何适应性好，边界条件易处理，理论完善，有误差估计

时间复杂度​

静态线性：O(n1.5−n2)
动态显式：O(n)每步
动态隐式：O(n1.5−n2)每步

空间复杂度​

稀疏矩阵存储：O(n)~O(n1.5)
总内存：O(n)+O(nnz)

适用类型​

复杂几何，材料非线性，接触问题，多物理场

优点​

适应复杂形状，理论严谨，商用软件成熟，前后处理完善

缺点​

网格生成复杂，大变形需重划网格，冲击问题精度受限

表示方法​

积分形式守恒方程：
∂t∂​∫V​ρϕdV+∮S​ρϕv⋅dS=∮S​Γ∇ϕ⋅dS+∫V​Sϕ​dV
离散形式：dtd(ρϕV)P​​+∑f​Ff​ϕf​=∑f​Df​+Sϕ​VP​

构建方法​

1. 控制体划分：将计算域划分为不重叠的控制体
2. 方程离散：对每个控制体积分守恒方程
3. 界面通量计算：采用迎风、中心、QUICK等格式
4. 代数方程组：AP​ϕP​=∑nb​Anb​ϕnb​+Su​
5. 求解线性系统：SIMPLE/PISO算法用于压力-速度耦合

算法名称​

SIMPLE算法，PISO算法，压力修正法

数学方程式​

连续性方程：∇⋅(ρv)=0
动量方程：∂t∂(ρv)​+∇⋅(ρvv)=−∇p+∇⋅(μ∇v)+ρg
能量方程：∂t∂(ρh)​+∇⋅(ρvh)=∇⋅(k∇T)+Sh​

计算公式​

1. 质量通量：m˙f​=ρf​vf​⋅Sf​
2. 对流项离散(一阶迎风)：
ϕf​={ϕP​ϕN​​if m˙f​≥0if m˙f​<0​
3. 扩散项离散：$D_f = \Gamma_f \frac{\phi_N - \phi_P}{

应用场景​

计算流体力学(CFD)，传热传质，燃烧，多相流，化学反应流

依赖条件​

软件：OpenFOAM, FLUENT, STAR-CCM+, CFX
硬件：HPC集群，GPU加速
数据：几何模型，湍流模型，物性参数，边界条件

算法思想​

在控制体上积分守恒方程，保证质量、动量、能量的严格守恒，通过界面插值计算通量

理论依据​

控制体法，守恒定律，雷诺输运定理

算法特性​

保证局部守恒性，适用于存在激波、间断的问题，可处理复杂流动

时间复杂度​

稳态问题：O(n1.2−n1.5)
瞬态问题：O(Nt​⋅n1.2)
湍流模拟：O(5n−7n)

空间复杂度​

存储网格和变量：O(7n)~O(10n)
湍流模型：额外O(2n−5n)

适用类型​

可压缩/不可压缩流，层流/湍流，多相流，化学反应流

优点​

严格守恒，鲁棒性好，适用于复杂流动，商业软件成熟

缺点​

高阶精度实现复杂，非结构化网格精度受影响，内存需求大

表示方法​

颗粒运动方程：
mi​dtdvi​​=∑j​Fijc​+Fie​+mi​g
Ii​dtdωi​​=∑j​Mij​
接触力模型：Fc=Fn​+Ft​

构建方法​

1. 颗粒生成：随机生成或按指定分布生成颗粒
2. 接触检测：空间分区法，邻居列表法
3. 力计算：法向力(赫兹模型)，切向力(库仑摩擦)
4. 运动积分：显式Verlet或Velocity-Verlet算法
5. 边界处理：周期性边界，固定边界，运动边界

算法名称​

软球模型，硬球模型，线性接触模型，赫兹-明德林模型

数学方程式​

法向赫兹接触力：Fn​=34​E∗R∗​δn3/2​
其中E∗1​=E1​1−ν12​​+E2​1−ν22​​, R∗1​=R1​1​+R2​1​
法向阻尼力：Fnd​=−265​​βSn​m∗​vnrel​
切向力(库仑)：Ft​=min(μFn​,kt​δt​+ct​vtrel​)

计算公式​

1. 接触检测(邻居列表)：
$\text{if }

应用场景​

颗粒物料流动，岩土力学，制药工业，农业工程，地质力学

依赖条件​

软件：EDEM, PFC, LIGGGHTS, Yade
硬件：多核CPU，GPU加速(百万颗粒级)
数据：颗粒物性参数(杨氏模量，泊松比，摩擦系数，恢复系数)

算法思想​

将散体物料离散为独立颗粒，基于牛顿第二定律计算每个颗粒运动，通过接触模型计算颗粒间相互作用

理论依据​

接触力学，牛顿第二定律，软球/硬球碰撞模型

算法特性​

可模拟大位移、旋转、分离，可考虑复杂接触，计算量随颗粒数增加而急剧增加

时间复杂度​

邻居搜索：O(NlogN)~O(N2)
力计算：O(Nc​)，Nc​为接触对数
总复杂度：O(NlogN)+O(Nc​)

空间复杂度​

存储颗粒信息：O(6N)~O(10N)
邻居列表：O(30N)~O(100N)

适用类型​

颗粒系统，散体物料，岩土体，非连续介质

优点​

可模拟颗粒尺度行为，可考虑复杂形状，可模拟大变形，物理直观

缺点​

计算量大，参数标定困难，连续介质假设不适用，统计结果需平均

表示方法​

位移场近似：uh(x)=∑i∈I​Ni​(x)ui​+∑j∈J​Nj​(x)H(x)aj​+∑k∈K​Nk​(x)(∑α=14​Fα​(x)bkα​)
其中：
Ni​: 标准形函数
H(x): 跳跃函数
Fα​(x): 裂尖渐进函数

构建方法​

1. 裂纹表征：水平集函数描述裂纹面/尖端
2. 富集策略：裂纹完全穿越单元→跳跃富集，裂尖附近→渐近富集
3. 数值积分：裂纹切割单元的子域积分
4. 求解：标准有限元程序修改形函数和积分方案

算法名称​

单位分解富集法，水平集XFEM，相场-XFEM耦合

数学方程式​

水平集函数：ϕ(x)=minxc​∈Γc​​∥x−xc​∥⋅sign(n⋅(x−xc​))
裂纹面：Γc​={x:ϕ(x)=0}
裂纹尖端：ϕ(x)=0且∇ϕ⋅t=0
富集函数：
Fα​(r,θ)=[r​sin2θ​,r​cos2θ​,r​sinθsin2θ​,r​sinθcos2θ​]

计算公式​

1. 刚度矩阵计算：K=∫Ω​BTDBdΩ
其中B矩阵包含标准部分和富集部分导数
2. 子域积分：裂纹切割单元被分为若干子三角形/子四面体进行高斯积分
3. 应力强度因子计算：
KI​=2(1−ν2)E​r2π​​[uθ​(r,π)−uθ​(r,−π)]
相互作用积分法：J=∫A​(σij​ui,1​−Wδ1j​)q,j​dA

应用场景​

裂纹扩展模拟，界面力学，材料界面，剪切带，多材料连接

依赖条件​

软件：ABAQUS(XFEM模块)，COMSOL，开源代码如XFEM++
硬件：标准有限元硬件配置，裂纹扩展需增量求解
数据：断裂韧性KIC​，Gc​，裂纹初始位置方向

算法思想​

在标准有限元近似空间中加入特殊函数(跳跃函数，裂尖端渐近函数)以描述位移不连续性和奇异性，网格独立模拟裂纹扩展

理论依据​

单位分解法，线弹性断裂力学，水平集方法

算法特性​

裂纹扩展不依赖网格，可模拟复杂裂纹路径，裂尖端奇异性精确描述，但积分复杂，收敛性分析困难

时间复杂度​

静态分析：O(n1.5−n2)
裂纹扩展：O(Nstep​⋅n1.5)
子域积分增加约30-100%计算成本

空间复杂度​

标准FEM存储 + 富集自由度存储
额外O(nenr​)，nenr​为富集节点数

适用类型​

线弹性/弹塑性断裂，动态裂纹扩展，多裂纹相互作用，界面脱粘

优点​

裂纹扩展不依赖网格重划分，可模拟任意路径裂纹，裂尖端处理精确

缺点​

数值积分复杂，收敛性理论不完善，富集导致条件数变差，多裂纹相互作用复杂

表示方法​

核近似：f(x)≈∫Ω​f(x′)W(x−x′,h)dx′
粒子近似：f(xi​)≈∑j​f(xj​)W(xi​−xj​,h)ρj​mj​​
其中W为光滑核函数，h为光滑长度

构建方法​

1. 粒子初始化：按初始条件布置粒子
2. 邻居搜索：链表法，树形法
3. 密度计算：ρi​=∑j​mj​Wij​
4. 动量方程离散：dtdvi​​=−∑j​mj​(ρi2​Pi​​+ρj2​Pj​​+Πij​)∇i​Wij​
5. 能量方程离散：dtdei​​=21​∑j​mj​(ρi2​Pi​​+ρj2​Pj​​+Πij​)(vi​−vj​)⋅∇i​Wij​
6. 时间积分：蛙跳法，Runge-Kutta法

算法名称​

弱可压SPH，不可压SPH，耗散粒子动力学

数学方程式​

连续性方程：dtdρ​=−ρ∇⋅v
动量方程：dtdv​=−ρ1​∇P+ν∇2v+g
状态方程(弱可压)：P=P0​[(ρ0​ρ​)γ−1]
人工粘度：Πij​={ρˉ​ij​−αcˉij​ϕij​+βϕij2​​0​vij​⋅rij​<0otherwise​
其中$\phi{ij} = \frac{h \mathbf{v}{ij}\cdot \mathbf{r}_{ij}}{

计算公式​

1. 三次样条核函数：
W(q)=hdσ​⎩⎨⎧​1−23​q2+43​q341​(2−q)30​0≤q<11≤q<2q≥2​
d为维度，σ为归一化因子
2. 密度求和：$\rho_i = \sum_j m_j W(

应用场景​

自由表面流动，流体-结构相互作用，爆炸与冲击，天体物理，生物力学

依赖条件​

软件：DualSPHysics, GPUSPH, LAMMPS(SPH), ANSYS Autodyn
硬件：GPU并行计算(数百万粒子)，显存需求大
数据：初始粒子分布，状态方程参数，粘度系数，表面张力系数

算法思想​

用一组离散的具有质量的粒子表示连续介质，通过核函数近似场函数及其导数，求解控制方程

理论依据​

核估计理论，插值理论，拉格朗日流体力学

算法特性​

无网格，自适应，适合大变形自由表面，但边界处理复杂，精度受粒子分布影响

时间复杂度​

邻居搜索：O(NlogN)~O(N2)
力计算：O(Nc​)，Nc​为相互作用对数
总复杂度：O(NlogN)+O(Nc​)

空间复杂度​

粒子数据：O(6N)~O(10N)
邻居列表：O(30N)~O(100N)

适用类型​

大变形，自由表面，多相流，高速冲击，爆炸，天体物理

优点​

无网格自适应，适合大变形，守恒性好，易处理自由表面，易并行

缺点​

边界处理困难，拉伸不稳定，精度受粒子分布影响，计算成本高

表示方法​

双重描述：拉格朗日物质点+欧拉背景网格
物质点携带：质量mp​，位置xp​，速度vp​，应力σp​，变形梯度Fp​
背景网格节点：质量mi​，动量(mv)i​，力fi​

构建方法​

1. 初始化：物质点分配质量、动量、应力
2. 粒子到网格(P2G)：将物质点质量动量映射到网格节点
3. 网格求解：计算节点加速度、速度
4. 网格到粒子(G2P)：更新物质点位置、速度、变形梯度
5. 应力更新：基于本构模型更新物质点应力
6. 网格重置：丢弃变形网格，使用规则网格开始下一步

算法名称​

标准MPM，广义插值物质点法(GIMP)，共轭物质点法(CPDI)

数学方程式​

质量映射：mi​=∑p​mp​Ni​(xp​)
动量映射：(mv)i​=∑p​mp​vp​Ni​(xp​)
节点运动方程：mi​ai​=fiint​+fiext​
内力：fiint​=−∑p​Vp​σp​∇Ni​(xp​)
位置更新：xpn+1​=xpn​+Δtvpn+1/2​
速度更新：vpn+1​=vpn​+Δt∑i​ai​Ni​(xp​)

计算公式​

1. 形函数(线性)：Ni​(x)=∏d=1nd​​ϕ(Δxd​xd​−xi,d​​)
其中$\phi(\xi) = \begin{cases} 1-

应用场景​

高速冲击，爆炸，侵彻，雪崩， landslides，金属成型，生物软组织

依赖条件​

软件：MPM3D, Uintah, NairnMPM, 商业软件如LS-DYNA(MPP)
硬件：HPC集群，GPU加速
数据：物质点初始分布，本构模型参数，加载条件

算法思想​

结合拉格朗日法和欧拉法优点，物质点携带材料历史变量，背景网格用于求解动量方程，避免网格畸变问题

理论依据​

弱形式平衡方程，单位分解法，质点网格法

算法特性​

无网格畸变，适合大变形，自然处理多材料相互作用，但数值耗散大，拉伸不稳定

时间复杂度​

每步：O(Np​)+O(Ng​)
其中Np​为物质点数，Ng​为网格节点数
总复杂度：O(Nstep​⋅(Np​+Ng​))

空间复杂度​

物质点存储：O(10Np​)~O(20Np​)
网格存储：O(Ng​)
总内存：O(Np​+Ng​)

适用类型​

极端变形，多相相互作用，冲击侵彻，流体-固体耦合

优点​

无网格畸变，适合大变形，自然处理多材料，质量动量严格守恒

缺点​

数值耗散，cell-crossing误差，拉伸不稳定，计算成本高

表示方法​

牛顿运动方程：mi​dt2d2ri​​=Fi​=−∇i​U(r1​,...,rN​)
势函数：U=Ubond​+Uangle​+Udihedral​+Unonbond​

构建方法​

1. 初始化：设置初始位置、速度(麦克斯韦分布)
2. 邻居列表：Verlet列表，链表法，网格法
3. 力计算：对势(Lennard-Jones)，多体势(EAM)
4. 运动积分：Verlet，Velocity-Verlet，Leapfrog
5. 控温控压：Berendsen，Nosé-Hoover，Parrinello-Rahman
6. 采样分析：计算热力学量，结构性质，动力学性质

算法名称​

Verlet积分，Velocity-Verlet，Leapfrog，Nosé-Hoover热浴，Ewald求和

数学方程式​

Lennard-Jones势：ULJ​(r)=4ϵ[(rσ​)12−(rσ​)6]
库仑势：UC​(r)=4πϵ0​1​rqi​qj​​
Verlet积分：r(t+Δt)=2r(t)−r(t−Δt)+mF(t)​Δt2
Velocity-Verlet：v(t+Δt/2)=v(t)+2mF(t)​Δt
r(t+Δt)=r(t)+v(t+Δt/2)Δt
v(t+Δt)=v(t+Δt/2)+2mF(t+Δt)​Δt

计算公式​

1. 截断半径修正：Ucut​(r)={U(r)−U(rc​)−(r−rc​)U′(rc​)0​r≤rc​r>rc​​
2. 邻居列表更新：rskin​=0.2σ~0.3σ，更新频率10-20步
3. Ewald求和(长程力)：
实空间：$U{\text{real}} = \frac{1}{2} \sum{\mathbf{n}}' \sum_{i,j} \frac{q_i q_j \text{erfc}(\alpha

应用场景​

材料科学(相变，缺陷，扩散)，生物物理(蛋白质折叠，分子对接)，化学反应，纳米技术

依赖条件​

软件：LAMMPS, GROMACS, NAMD, AMBER
硬件：超级计算机，GPU加速，专用MD硬件(Anton)
数据：力场参数，初始构型，边界条件，控温控压参数

算法思想​

基于牛顿运动方程，数值积分原子运动轨迹，通过统计力学获得宏观性质，势函数描述原子间相互作用

理论依据​

统计力学，经典力学，势能面理论

算法特性​

原子尺度模拟，可观测动力学过程，但时间尺度受限(纳秒-微秒)，空间尺度受限(纳米-微米)

时间复杂度​

短程力：O(N)~O(NlogN)
长程力(Ewald)：O(N3/2)~O(NlogN)
总复杂度：O(N)~O(N3/2)

空间复杂度​

原子坐标速度：O(6N)
邻居列表：O(30N)~O(100N)
力场参数：O(Ntypes2​)

适用类型​

原子/分子系统，液态/固态/气态，生物大分子，纳米材料

优点​

提供原子尺度细节，可模拟非平衡过程，理论基础坚实，软件成熟

缺点​

时间尺度短(纳秒级)，空间尺度小，力场精度限制，计算成本高

表示方法​

控制方程：∇2u=0（以拉普拉斯方程为例）
边界积分方程：c(ξ)u(ξ)+∫Γ​u∂n∂G​dΓ=∫Γ​∂n∂u​GdΓ
其中G是基本解，c(ξ)是几何系数。

构建方法​

1. 将控制方程转化为边界积分方程（BIE）
2. 离散边界为单元，单元上定义形函数
3. 将BIE离散为代数方程组：[H]{u}=[G]{q}
4. 代入边界条件，求解方程组得到未知边界值
5. 内部点的解通过BIE计算

算法名称​

直接边界元法，间接边界元法，对偶边界元法

数学方程式​

以位势问题为例，边界积分方程：
c(ξ)u(ξ)+∫Γ​u∂n∂G​dΓ=∫Γ​qGdΓ
其中q=∂n∂u​，G是基本解，例如二维拉普拉斯方程：G=2π1​ln(r1​)。
离散后：Hij​=∫Γj​​∂n∂G​Nj​dΓ，Gij​=∫Γj​​GNj​dΓ
方程组：∑j​Hij​uj​=∑j​Gij​qj​

计算公式​

1. 系数矩阵计算：
Hii​=−∑j=i​Hij​+ci​
Hij​=∫Γj​​∂n∂G​Nj​dΓ
Gij​=∫Γj​​GNj​dΓ
2. 内部点计算：
uk​=∑j​Gkj​qj​−∑j​Hkj​uj​

应用场景​

无限域问题（如声场、电磁散射）、断裂力学、腐蚀、接触问题、弹性力学、热传导等。

依赖条件​

软件：BEM++，FastBEM，商用边界元软件
硬件：标准计算资源，但需要处理稠密矩阵
数据：边界几何，边界条件，材料参数

算法思想​

将控制方程转化为边界积分方程，只在边界上离散，降低问题维数，自动满足无穷远边界条件。

理论依据​

积分方程理论，基本解理论，格林公式

算法特性​

仅需边界离散，适合无限域问题，精度高，但矩阵稠密，不对称，不适合非线性问题。

时间复杂度​

生成矩阵：O(N2)，直接求解：O(N3)，快速多极加速：O(NlogN)

空间复杂度​

存储稠密矩阵：O(N2)，快速多极法：O(N)

适用类型​

线性、均匀介质、无限域问题，边界光滑的问题。

优点​

降维，仅需边界离散，适合无限域，精度高。

缺点​

矩阵稠密不对称，非线性问题处理困难，不适用于非均匀介质。

表示方法​

近似函数：uh(x)=∑i=1N​ϕi​(x)ui​
其中ϕi​(x)是无网格形函数，不依赖于网格，而是节点影响域的函数。

构建方法​

1. 节点布置，定义影响域（支持域）
2. 基于节点构造形函数（如移动最小二乘MLS、重构核RKPM等）
3. 建立离散方程（配点法、伽辽金法）
4. 数值积分（背景网格或节点积分）
5. 求解代数方程组

算法名称​

移动最小二乘法（MLS），重构核粒子法（RKPM），无单元伽辽金法（EFG），局部彼得罗夫-伽辽金法（MLPG）

数学方程式​

MLS近似：uh(x)=∑j=1m​pj​(x)aj​(x)=pT(x)a(x)
其中a(x)由加权最小二乘得到：
a(x)=A−1(x)B(x)u
A(x)=∑i=1N​wi​(x)p(xi​)pT(xi​)
B(x)=[w1​(x)p(x1​),...,wN​(x)p(xN​)]
形函数：ϕi​(x)=pT(x)A−1(x)wi​(x)p(xi​)

计算公式​

1. 影响域半径：dmi​=dmax​⋅di​，di​为节点间距
2. 权函数（如高斯函数）：wi​(x)={exp(−(ri​/c)2)−exp(−(dmi​/c)2)0​ri​≤dmi​ri​>dmi​​
3. 数值积分：在背景网格或节点上积分，∫f(x)dΩ≈∑k=1ng​​f(xk​)wk​

应用场景​

大变形问题，裂纹扩展，金属成型，流体-结构相互作用，自适应分析。

依赖条件​

软件：EFG代码，MLPG代码，LS-DYNA（EFG）
硬件：标准计算资源，但计算成本高
数据：节点分布，权函数参数，积分方案

算法思想​

基于节点构造近似函数，摆脱网格束缚，适合大变形和自适应分析。

理论依据​

移动最小二乘，重构核近似，配点法，伽辽金法

算法特性​

无网格，适合大变形，自适应容易，但形函数构造复杂，数值积分困难。

时间复杂度​

形函数构造：O(N⋅nb​)，nb​为影响域内节点数
矩阵装配：O(N⋅nb2​)
求解：同FEM

空间复杂度​

存储节点信息和形函数：O(N⋅nb​)

适用类型​

大变形，裂纹动态扩展，自适应分析，高梯度问题。

优点​

无网格畸变，自适应容易，精度高，适合大变形。

缺点​

形函数构造复杂，数值积分困难，计算成本高，边界条件处理复杂。

表示方法​

使用CAD的样条函数（如NURBS）作为形函数：
u(ξ)=∑i=1n​Ri,p​(ξ)ui​
其中Ri,p​是NURBS基函数，p是次数，ui​是控制点变量。

构建方法​

1. CAD几何导入（NURBS表示）
2. 定义分析合适的样条空间（h,p,k细化）
3. 建立离散方程（如伽辽金法）
4. 数值积分（高斯积分在参数域）
5. 求解代数方程组
6. 后处理（直接利用样条函数的高连续性）

算法名称​

基于NURBS的等几何分析，T样条等几何分析，分层B样条等几何分析

数学方程式​

NURBS基函数：Ri,p​(ξ)=∑j=1n​Nj,p​(ξ)wj​Ni,p​(ξ)wi​​
其中Ni,p​是B样条基函数，wi​是权因子。
离散方程：Ku=F
Kij​=∫Ω​∇Ri​⋅D⋅∇Rj​dΩ
Fi​=∫Ω​Ri​fdΩ+∫ΓN​​Ri​hdΓ

计算公式​

1. B样条基函数递归公式：
Ni,0​(ξ)={10​ξi​≤ξ<ξi+1​otherwise​
Ni,p​(ξ)=ξi+p​−ξi​ξ−ξi​​Ni,p−1​(ξ)+ξi+p+1​−ξi+1​ξi+p+1​−ξ​Ni+1,p−1​(ξ)
2. 高斯积分在参数域：$ \int\Omega f(x) d\Omega = \int{\hat{\Omega}} f(x(\xi))

应用场景​

结构振动，板壳分析，流体-结构相互作用，形状优化，几何精确的仿真。

依赖条件​

软件：IGA开源代码（如GeoPDEs），商用软件（如Abaqus的IGA模块）
硬件：标准计算资源，高次基函数需要更高积分阶数
数据：CAD模型（NURBS），材料参数，边界条件

算法思想​

使用CAD几何的样条基函数作为分析基函数，实现几何与分析的统一，消除几何离散误差。

理论依据​

样条理论，等参概念，有限元法

算法特性​

几何精确，高连续性，易于实现自适应h-p-k细化，但数值积分成本高，网格划分特殊。

时间复杂度​

矩阵装配：O(pdn)，其中p为次数，d为维度，n为控制点数
求解：同FEM，但矩阵带宽增大

空间复杂度​

存储控制点和变量：O(n)，矩阵存储：O(pdn)带宽

适用类型​

高精度要求，光滑解问题，板壳结构，流体-结构相互作用，形状优化。

优点​

几何精确，高连续性，自适应细化方便，可直接用于形状优化。

缺点​

数值积分成本高，局部细化复杂（T样条可缓解），处理复杂几何需多个样条块。

表示方法​

宏观尺度：uM(x)=NM(x)uM
微观尺度：um(x,y)=Nm(y)um
多尺度展开：uϵ(x)=u0(x)+ϵu1(x,y)+...

构建方法​

1. 微观代表性体积单元（RVE）定义
2. 在RVE上求解微观问题（均匀化）
3. 计算等效宏观材料性质
4. 在宏观尺度上求解问题
5. 如果需要，进行下行缩放（downscaling）获取微观细节

算法名称​

均匀化方法，变分多尺度法（VMS），多尺度有限元法（MsFEM）

数学方程式​

均匀化方法：∂xi​∂​(CijklH​∂xl​∂uk0​​)=fi​
其中等效刚度：$ C_{ijkl}^H = \frac{1}{

计算公式​

1. 等效性质计算：$ C^H = \frac{1}{

应用场景​

复合材料，多孔介质，混凝土，生物组织，多晶材料等具有微结构的材料。

依赖条件​

软件：FE2代码，商用多尺度软件（如Digimat）
硬件：需要大量计算资源，特别是并行计算
数据：微观结构几何，组分材料属性，边界条件

算法思想​

通过分离宏观和微观尺度，在宏观尺度使用等效性质，微观尺度求解局部问题，以考虑微观结构的影响。

理论依据​

均匀化理论，多尺度渐近展开，变分多尺度法

算法特性​

考虑微观结构，计算成本高，可获取微观应力分布，但尺度分离假设需满足。

时间复杂度​

宏观求解：O(NM​)，每个RVE求解：O(nm2​)，总：O(NM​⋅nm2​)

空间复杂度​

存储宏观和微观模型：O(NM​+NR​VE⋅nm​)

适用类型​

具有周期性或随机微观结构的材料，特征尺度分离明显。

优点​

考虑微观结构，可获取局部应力，避免宏观均匀假设。

缺点​

计算成本高，尺度分离假设，微观模型简化可能不准确。

表示方法​

相场变量ϕ：ϕ=1表示一相，ϕ=0表示另一相，界面光滑过渡。
自由能泛函：$ F = \int_V [f(\phi) + \frac{\epsilon^2}{2}

构建方法​

1. 定义自由能泛函（包括体自由能和梯度能）
2. 推导演化方程（Cahn-Hilliard或Allen-Cahn）
3. 离散求解（有限差分/有限元/谱方法）
4. 时间积分（显式/半隐式/隐式）
5. 后处理（界面提取，物理量计算）

算法名称​

Cahn-Hilliard方程，Allen-Cahn方程，相场晶体模型（PFC）

数学方程式​

Cahn-Hilliard方程：∂t∂ϕ​=∇⋅(M∇(f′(ϕ)−ϵ2∇2ϕ))
Allen-Cahn方程：∂t∂ϕ​=−M(f′(ϕ)−ϵ2∇2ϕ)
双阱势：f(ϕ)=41​(ϕ2−1)2
界面厚度：ξ=2​ϵ

计算公式​

1. 半隐式格式：Δtϕn+1−ϕn​=M∇2(f′(ϕn)−ϵ2∇2ϕn+1)
2. 傅里叶谱方法：∂t∂ϕ^​​=−Mk2(f′(ϕ)​+ϵ2k2ϕ^​)
3. 界面能计算：γ=32​​ϵ

应用场景​

相分离，晶粒生长，裂纹扩展，凝固，生物膜生长，肿瘤生长。

依赖条件​

软件：MOOSE，FiPy，商业相场软件（如MICRESS）
硬件：需要较高计算资源，特别是三维问题
数据：自由能函数，迁移率，界面参数，初始条件

算法思想​

通过引入连续相场变量描述界面，避免显式追踪界面，通过能量最小化推导演化方程。

理论依据​

朗道相变理论，渐变界面模型，热力学第二定律

算法特性​

界面自动演化，可处理复杂拓扑变化，但界面有一定厚度，计算精度受界面厚度影响。

时间复杂度​

每步：O(NlogN)（谱方法）或O(N)（有限差分/有限元）
总：O(Nt​⋅NlogN)

空间复杂度​

存储相场变量和辅助变量：O(N)

适用类型​

涉及相变、界面演化的过程，特别是拓扑变化复杂的问题。

优点​

避免界面追踪，自然处理拓扑变化，易于耦合多物理场。

缺点​

界面厚度人为设定，计算量大，高分辨率需求，参数敏感。

表示方法​

裂缝用平面多边形（二维为线段）表示，每个裂缝有位置、大小、方向、开度等属性。
流动方程：∇⋅(k∇p)=0，其中k为渗透率张量。

构建方法​

1. 裂缝网络生成（随机或确定）
2. 网格划分（裂缝和基质分别或统一划分）
3. 流动方程离散（有限元/有限体积/边界元）
4. 求解流动方程（线性或非线性）
5. 粒子追踪或输运模拟（可选）

算法名称​

离散裂缝网络模型，裂缝-基质耦合流动模型

数学方程式​

裂缝内流动（立方定律）：q=−12μw3​∇p
其中w为裂缝开度，μ为粘度。
基质流动：q=−μk​∇p
耦合条件：在裂缝-基质界面压力连续，流量平衡。

计算公式​

1. 裂缝渗透率：kf​=12w2​
2. 等效渗透率：keq​=km​+A1​∑i​kf,i​Af,i​
3. 流动方程离散：Tij​=μLij​kij​Aij​​，∑j​Tij​(pi​−pj​)=Qi​

应用场景​

水文地质，油气开采，地热开发，核废料处置，岩石力学。

依赖条件​

软件：FracMan，ConnectFlow，开源DFN代码（如dfnWorks）
硬件：需要较大内存，复杂网络需要并行计算
数据：裂缝统计参数（密度、大小、方向、开度），基质属性，边界条件

算法思想​

显式表示裂缝网络，分别模拟裂缝和基质的流动，考虑裂缝的连通性和导流能力。

理论依据​

裂隙介质渗流理论，网络理论，统计几何

算法特性​

显式表示裂缝，考虑非均质性，但计算量大，网格生成复杂。

时间复杂度​

网络生成：O(Nf​)，网格划分：O(Nf2​)，求解：O(N1.5)

空间复杂度​

存储裂缝网络和网格：O(Nf​+N)，N为网格节点数

适用类型​

裂缝性介质，裂缝主导流动，非均质性强。

优点​

显式表示裂缝，可考虑复杂网络，物理直观。

缺点​

计算量大，网格生成困难，参数不确定性强。

表示方法​

随机场离散：a(x,θ)=∑i=0m​ai​(x)ξi​(θ)
伽辽金离散：u(x,θ)=∑i=1n​∑j=0p​uij​Ni​(x)ψj​(ξ)
其中ξ是随机变量，ψ是正交多项式。

构建方法​

1. 随机输入建模（随机场离散）
2. 随机伽辽金法或配点法
3. 确定性有限元求解（多次）
4. 后处理获取统计量（均值、方差、概率分布）

算法名称​

随机伽辽金法，随机配点法，摄动法，蒙特卡洛法

数学方程式​

随机微分方程：∇⋅(a(x,θ)∇u(x,θ))=f(x,θ)
伽辽金投影：⟨R,ψk​⟩=0，其中残差R=∇⋅(a∇u)−f
离散后：∑j=0p​Kij​uj​=Fi​，其中Kij​=⟨ψi​ψj​K(θ)⟩，Fi​=⟨ψi​F(θ)⟩

计算公式​

1. Karhunen-Loève展开：a(x,θ)=aˉ(x)+∑i=1m​λi​​ϕi​(x)ξi​(θ)
2. 多项式混沌展开：u(θ)=∑j=0p​uj​ψj​(ξ)
3. 随机配点：u(i)=FE(a(ξ(i)))，uj​=∑i=1Q​u(i)ψj​(ξ(i))w(i)

应用场景​

不确定性量化，可靠性分析，随机振动，参数识别，稳健设计。

依赖条件​

软件：UQLab，Dakota，OpenTURNS，商用软件（如ANSYS Stochastic）
硬件：需要大量计算，特别是蒙特卡洛法
数据：随机变量分布，随机场相关函数，有限元模型

算法思想​

将随机变量引入控制方程，用随机基函数（如多项式混沌）展开解，通过伽辽金投影或采样求解展开系数。

理论依据​

随机过程理论，多项式混沌，蒙特卡洛方法，摄动理论

算法特性​

量化不确定性，计算成本高（特别是高维随机变量），收敛速度依赖方法。

时间复杂度​

蒙特卡洛：O(NMC​⋅TFE​)，NMC​为样本数
随机伽辽金：O(P⋅TFE​)，P为多项式项数
配点法：O(Q⋅TFE​)，Q为配点数

空间复杂度​

存储随机矩阵和向量：O(P2⋅N)，N为有限元自由度

适用类型​

输入参数不确定，需要量化输出不确定性的问题。

优点​

系统量化不确定性，可进行可靠性分析，多项式混沌收敛快。

缺点​

计算成本高，维数灾难（随机维数高时），实现复杂。

表示方法​

设计变量：ρ(x)∈[0,1]，表示材料密度。
优化问题：minρ​c(ρ)=FTU
约束：V(ρ)≤V0​，0≤ρ≤1
平衡方程：K(ρ)U=F

构建方法​

1. 设计域离散，初始化设计变量
2. 有限元分析，计算目标函数和约束
3. 灵敏度分析（伴随变量法）
4. 更新设计变量（优化算法，如SIMP，水平集法）
5. 重复2-4直到收敛

算法名称​

变密度法（SIMP），水平集法，进化结构优化（ESO），移动渐近线法（MMA）

数学方程式​

SIMP模型：E(ρ)=Emin​+ρp(E0​−Emin​)
优化问题：
minρ​c=UTKU=∑e=1N​Ee​(ρe​)ueT​k0​ue​
s.t.V(ρ)=∑e=1N​ρe​ve​≤V0​
0≤ρ≤1
灵敏度：∂ρe​∂c​=−pρep−1​(E0​−Emin​)ueT​k0​ue​

计算公式​

1. 敏度过滤：∂ρe​∂c​=max(γ,ρe​)∑i​Hi​1​∑i​Hi​ρi​∂ρi​∂c​
其中Hi​=max(0,R−dist(e,i))
2. 更新方案（OC）：ρenew​=⎩⎨⎧​max(0,ρe​−m)min(1,ρe​+m)ρe​Beη​​if ρe​Beη​≤max(0,ρe​−m)if ρe​Beη​≥min(1,ρe​+m)otherwise​
其中Be​=−∂ρe​∂c​/(λ∂ρe​∂V​)

应用场景​

结构轻量化，柔顺机构设计，材料设计，多物理场优化。

依赖条件​

软件：SIMP代码，水平集代码，商用软件（如OptiStruct，COMSOL）
硬件：需要多次有限元分析，计算成本高
数据：设计域，载荷，边界条件，体积分数约束

算法思想​

在给定设计域内优化材料分布，使结构在约束下性能最优，通过迭代更新设计变量。

理论依据​

优化理论，变分法，均匀化理论，灵敏度分析

算法特性​

可得到创新结构，但可能有多重局部最优，棋盘格现象，网格依赖性。

时间复杂度​

每次迭代：O(N1.5)（有限元分析）+ O(N)（灵敏度及更新）
总：O(Niter​⋅N1.5)

空间复杂度​

存储设计变量和敏度：O(N)，有限元矩阵：O(N)

适用类型​

静力学，动力学，热传导，流体，多物理场优化。

优点​

创新设计，材料利用率高，可处理复杂约束。

缺点​

计算成本高，棋盘格现象，局部最优，制造约束需后处理。

表示方法​

积分方程形式：c(P)u(P)+∫Γ​u(Q)∂nQ​∂G(P,Q)​dΓ(Q)=∫Γ​∂n∂u(Q)​G(P,Q)dΓ(Q)
其中G为基本解，P为场点，Q为源点，c(P)为几何系数

构建方法​

1. 边界离散：将边界划分为单元
2. 单元插值：u=∑Ni​ui​, q=∑Ni​qi​
3. 形成系统矩阵：[H]{u}=[G]{q}
4. 代入边界条件求解
5. 内部点计算

算法名称​

直接边界元法，间接边界元法，对偶边界元法，快速多极边界元法

数学方程式​

二维位势问题基本解：G(P,Q)=2π1​ln(r1​)
三维弹性力学基本解(开尔文解)：
Gij​(P,Q)=16πG(1−ν)r1​[(3−4ν)δij​+r,i​r,j​]
系统方程：∑j=1N​Hij​uj​=∑j=1N​Gij​qj​
Hij​=∫Γj​​∂n∂G​Nj​dΓ, Gij​=∫Γj​​GNj​dΓ

计算公式​

奇异积分处理：
弱奇异：∫01​ln(t)dt=−1
强奇异：Cauchy主值积分
超奇异：有限部分积分
矩阵元素计算：Gij​=∑k=1ng​​wk​G(Pi​,Q(ξk​))Nj​(ξk​)J(ξk​)

应用场景​

无限域问题，声学，断裂力学，势流，热传导，弹性力学

依赖条件​

软件：BEM++, FastBEM, BEASY
硬件：处理稠密矩阵，大内存需求
数据：边界几何，边界条件，材料参数

算法思想​

将控制方程转化为边界积分方程，仅在边界离散，降低问题维度，自动满足无穷远边界条件

理论依据​

格林函数理论，积分方程，基本解方法

算法特性​

降维处理，适合无限域，精度高，但形成稠密矩阵，不适合非线性问题

时间复杂度​

矩阵生成：O(N2)
直接求解：O(N3)
快速多极：O(NlogN)

空间复杂度​

存储稠密矩阵：O(N2)
快速多极：O(N)

适用类型​

线性，均匀介质，无限域，边界光滑问题

优点​

降维，仅需边界离散，适合无限域，精度高，后处理简单

缺点​

矩阵稠密不对称，非线性问题处理困难，不适合非均匀介质

表示方法​

移动最小二乘近似：uh(x)=∑i=1n​ϕi​(x)ui​
形函数：ϕi​(x)=pT(x)A−1(x)Bi​(x)
A(x)=∑i=1n​wi​(x)p(xi​)pT(xi​), Bi​(x)=wi​(x)p(xi​)

构建方法​

1. 节点布置
2. 构造形函数(移动最小二乘)
3. 背景网格积分
4. 施加边界条件(拉格朗日乘子)
5. 求解系统方程

算法名称​

移动最小二乘无网格法，重构核粒子法，hp云法

数学方程式​

权函数：wi​(x)={1−e−(dmi​/c)2e−(ri​/c)2−e−(dmi​/c)2​0​ri​≤dmi​ri​>dmi​​
其中ri​=∥x−xi​∥, dmi​=dmax​ci​, ci​为节点间距
离散方程：KU=F, KIJ​=∫Ω​BIT​DBJ​dΩ

计算公式​

形函数导数：
ϕi,j​=p,jT​A−1Bi​+pT(A,j−1​Bi​+A−1Bi,j​)
A,j−1​=−A−1A,j​A−1
背景积分：∫Ω​fdΩ=∑k=1nq​​wk​f(xk​)J(xk​)

应用场景​

大变形，裂纹扩展，金属成型，自适应分析，高梯度问题

依赖条件​

软件：EFG代码，MLPG代码
硬件：计算成本高，需要大量积分点
数据：节点分布，权函数参数，背景网格

算法思想​

基于节点构造近似函数，摆脱网格束缚，适合大变形和自适应分析

理论依据​

移动最小二乘理论，单位分解法，伽辽金法

算法特性​

无网格畸变，自适应容易，精度高，但形函数构造复杂，积分困难

时间复杂度​

形函数计算：O(nns2​)
矩阵装配：O(nns2​N)
求解：O(N1.5)

空间复杂度​

存储节点和影响域：O(nns​N)
矩阵存储：O(N1.5)

适用类型​

大变形，裂纹动态扩展，自适应分析，高梯度问题

优点​

无网格畸变，自适应容易，精度高，适合大变形

缺点​

形函数构造复杂，数值积分困难，计算成本高，边界条件处理复杂

表示方法​

NURBS基函数：Ri,p​(ξ)=∑j=1n​Nj,p​(ξ)wj​Ni,p​(ξ)wi​​
几何映射：x(ξ)=∑i=1n​Ri,p​(ξ)Pi​
场近似：uh(ξ)=∑i=1n​Ri,p​(ξ)ui​

构建方法​

1. CAD几何导入
2. 定义分析合适的样条空间
3. h/p/k细化
4. 数值积分
5. 求解系统方程

算法名称​

基于NURBS的等几何分析，T样条等几何分析，分层B样条分析

数学方程式​

B样条基函数递归：
Ni,0​(ξ)={10​ξi​≤ξ<ξi+1​其他​
Ni,p​(ξ)=ξi+p​−ξi​ξ−ξi​​Ni,p−1​(ξ)+ξi+p+1​−ξi+1​ξi+p+1​−ξ​Ni+1,p−1​(ξ)
刚度矩阵：Kij​=∫Ω​∇Ri​⋅D⋅∇Rj​dΩ

计算公式​

雅可比变换：J=dξdx​=∑i=1n​dξdRi​​Pi​
基函数梯度：dxdRi​​=dξdRi​​J−1
高斯积分：$\int\Omega f(x) d\Omega = \int{\hat{\Omega}} f(x(\xi))

应用场景​

CAD/CAE集成，板壳分析，流固耦合，形状优化，高阶连续问题

依赖条件​

软件：GeoPDEs, IGAFEM, LS-DYNA(IGA), ABAQUS(IGA)
硬件：高次基函数需要更多积分点
数据：NURBS几何，材料参数，边界条件

算法思想​

使用CAD几何的样条基函数作为分析基函数，实现几何与分析的统一，消除几何离散误差

理论依据​

样条理论，等参概念，有限元法

算法特性​

几何精确，高阶连续，自适应h-p-k细化方便，但数值积分成本高

时间复杂度​

矩阵装配：O(pdng​N)
求解：O(N1.5)

空间复杂度​

存储控制点和变量：O(N)
矩阵存储：O(pdN)带宽

适用类型​

高阶连续需求，几何精确分析，板壳结构，流体-结构相互作用

优点​

几何精确，高阶连续，自适应细化方便，CAD/CAE无缝集成

缺点​

数值积分成本高，局部细化复杂，复杂几何需多个样条块

表示方法​

多尺度展开：uϵ(x)=u0​(x)+ϵu1​(x,x/ϵ)+ϵ2u2​(x,x/ϵ)+⋯
其中u1​满足单元问题：∫Y​aij​∂yj​∂u1​​∂yi​∂v​dY=−∫Y​aij​∂xj​∂u0​​∂yi​∂v​dY

构建方法​

1. 微观RVE定义
2. 求解微观单元问题
3. 计算等效宏观性质
4. 宏观尺度求解
5. 下行缩放获取微观场

算法名称​

均匀化方法，多尺度有限元法，变分多尺度法

数学方程式​

等效刚度：$a^H_{ijkl} = \frac{1}{

计算公式​

MsFEM基函数：在宏观单元K上求解：
∇⋅(aϵ(x)∇ϕi​)=0在K内
ϕi​=gi​在∂K上
宏观解：uM=∑i=1nk​​ϕi​uiM​

应用场景​

复合材料，多孔介质，混凝土，生物组织，多晶材料

依赖条件​

软件：FE²代码，商用多尺度软件
硬件：需要大量计算资源，特别是并行计算
数据：微观结构，组分材料属性，边界条件

算法思想​

通过分离宏观和微观尺度，在宏观尺度使用等效性质，微观尺度求解局部问题，考虑微观结构影响

理论依据​

均匀化理论，多尺度渐近展开，变分多尺度法

算法特性​

考虑微观结构，计算成本高，可获取微观应力分布，但尺度分离假设需满足

时间复杂度​

宏观求解：O(NM1.5​)
微观求解：O(nR​VE⋅NR​VE1.5)
总：O(NM1.5​+nR​VE⋅NR​VE1.5)

空间复杂度​

存储宏观和微观模型：O(NM​+nR​VE⋅NR​VE)

适用类型​

具有周期性或随机微观结构的材料，特征尺度分离明显

优点​

考虑微观结构，可获取局部应力，避免宏观均匀假设

缺点​

计算成本高，尺度分离假设，微观模型简化可能不准确

表示方法​

相场变量：ϕ∈[−1,1]，ϕ=1相A，ϕ=−1相B
自由能：$F = \int_V [f(\phi) + \frac{\epsilon^2}{2}

构建方法​

1. 定义自由能泛函
2. 推导演化方程(Allen-Cahn或Cahn-Hilliard)
3. 离散求解(有限差分/有限元)
4. 时间积分(显式/半隐式)
5. 后处理

算法名称​

Allen-Cahn方程，Cahn-Hilliard方程，相场晶体模型

数学方程式​

Allen-Cahn：∂t∂ϕ​=−MδϕδF​=M[ϵ2∇2ϕ−f′(ϕ)]
Cahn-Hilliard：∂t∂ϕ​=∇⋅(M∇μ), μ=δϕδF​
双阱势：f(ϕ)=41​(ϕ2−1)2

计算公式​

半隐式格式：Δtϕn+1−ϕn​=M[ϵ2∇2ϕn+1−f′(ϕn)]
傅里叶谱方法：ϕ^​n+1=1+ΔtMϵ2k2ϕ^​n−ΔtMf′(ϕn)​​
界面能：γ=322​​ϵ，界面厚度：ξ=2​ϵ

应用场景​

相分离，晶粒生长，裂纹扩展，凝固，生物膜生长，肿瘤生长

依赖条件​

软件：MOOSE, FEniCS, COMSOL(相场模块)
硬件：高分辨率需要大内存，三维问题需要HPC
数据：自由能函数，迁移率，界面参数，初始条件

算法思想​

通过引入连续相场变量描述界面，避免显式追踪界面，通过能量最小化推导演化方程

理论依据​

朗道相变理论，渐变界面模型，热力学第二定律

算法特性​

界面自动演化，可处理复杂拓扑变化，但界面有厚度，计算精度受界面厚度影响

时间复杂度​

每步：O(NlogN)(谱方法)或O(N)(有限差分)
总：O(Nt​NlogN)

空间复杂度​

存储相场变量和辅助变量：O(N)

适用类型​

相变，界面演化，拓扑变化复杂问题

优点​

避免界面追踪，自然处理拓扑变化，易于耦合多物理场

缺点​

界面厚度人为设定，计算量大，高分辨率需求，参数敏感

表示方法​

裂缝表示为平面多边形(3D)或线段(2D)
流动方程：∇⋅(k∇p)=0
裂缝内流动：q=−12μw3​∇p

构建方法​

1. 裂缝网络生成(随机/确定)
2. 网格划分(裂缝/基质)
3. 流动方程离散
4. 求解流动方程
5. 粒子追踪(可选)

算法名称​

离散裂缝网络模型，裂缝-基质耦合流动模型

数学方程式​

裂缝流动(立方定律)：qf​=−12μwf3​​∇pf​
基质流动：qm​=−μkm​​∇pm​
耦合条件：pf​=pm​, qf​⋅n=qm​⋅n在界面

计算公式​

裂缝渗透率：kf​=12wf2​​
等效渗透率张量：kijeq​=V1​∑f​wf​Af​(ti​tj​)f​
传导率：Tij​=μLij​kij​Aij​​

应用场景​

水文地质，油气开采，地热开发，核废料处置，岩石力学

依赖条件​

软件：FracMan, dfnWorks, ConnectFlow
硬件：大内存，复杂网络需要并行
数据：裂缝统计参数，基质属性，边界条件

算法思想​

显式表示裂缝网络，分别模拟裂缝和基质的流动，考虑裂缝的连通性和导流能力

理论依据​

裂隙介质渗流理论，网络理论，统计几何

算法特性​

显式表示裂缝，考虑非均质性，但计算量大，网格生成复杂

时间复杂度​

网络生成：O(Nf​)
网格划分：O(Nf2​)
求解：O(N1.5)

空间复杂度​

存储裂缝网络和网格：O(Nf​+N)

适用类型​

裂缝性介质，裂缝主导流动，非均质性强

优点​

显式表示裂缝，可考虑复杂网络，物理直观

缺点​

计算量大，网格生成困难，参数不确定性强

表示方法​

随机场展开：a(x,θ)=∑i=0m​ai​(x)ξi​(θ)
多项式混沌展开：u(x,θ)=∑j=0p​uj​(x)ψj​(ξ(θ))
伽辽金投影：⟨R,ψk​⟩=0

构建方法​

1. 随机输入建模(KL展开)
2. 随机伽辽金离散
3. 求解耦合确定性系统
4. 后处理统计量

算法名称​

随机伽辽金法，随机配点法，摄动随机有限元法

数学方程式​

KL展开：a(x,θ)=aˉ(x)+∑i=1m​λi​​fi​(x)ξi​(θ)
多项式混沌：⟨ψi​,ψj​⟩=δij​⟨ψi2​⟩
耦合系统：∑j=0p​Kij​uj​=Fi​, Kij​=⟨ψi​ψj​K⟩

计算公式​

随机刚度矩阵：Kij​=∫Ω​BTDij​BdΩ
Dij​=⟨ψi​ψj​D(θ)⟩
随机配点：u(k)=K−1(ξ(k))F(ξ(k))
uj​=∑k=1Q​u(k)ψj​(ξ(k))wk​

应用场景​

不确定性量化，可靠性分析，随机振动，参数识别，稳健设计

依赖条件​

软件：UQLab, Dakota, OpenTURNS
硬件：大量计算，高维需要降维
数据：随机变量分布，相关函数，有限元模型

算法思想​

将随机变量引入控制方程，用随机基函数展开解，通过伽辽金投影或采样求解展开系数

理论依据​

随机过程理论，多项式混沌，蒙特卡洛方法，摄动理论

算法特性​

量化不确定性，计算成本高，收敛速度依赖方法

时间复杂度​

蒙特卡洛：O(NMC​TFE​)
随机伽辽金：O(P2TFE​)
配点法：O(QTFE​)

空间复杂度​

存储随机矩阵：O(P2N)
多项式混沌系数：O(PN)

适用类型​

输入参数不确定，需要量化输出不确定性的问题

优点​

系统量化不确定性，多项式混沌收敛快

缺点​

计算成本高，维数灾难，实现复杂

表示方法​

设计变量：ρ∈[0,1]
优化问题：minρ​c(ρ)=FTU(ρ)
约束：V(ρ)≤V0​, 0<ρmin​≤ρ≤1
平衡方程：K(ρ)U=F

构建方法​

1. 设计域离散，初始化
2. 有限元分析
3. 灵敏度分析
4. 设计变量更新
5. 收敛判断

算法名称​

SIMP法，水平集法，进化结构优化法，移动渐近线法

数学方程式​

SIMP模型：E(ρ)=Emin​+ρp(E0​−Emin​)
灵敏度：∂ρe​∂c​=−pρep−1​(E0​−Emin​)ueT​k0​ue​
优化准则法：ρenew​=⎩⎨⎧​max(ρmin​,ρe​−m)min(1,ρe​+m)ρe​Beη​​if ρe​Beη​≤max(ρmin​,ρe​−m)if ρe​Beη​≥min(1,ρe​+m)otherwise​
其中Be​=∂ρe​∂c​/(λ∂ρe​∂V​)

计算公式​

过滤敏度：∂ρe​∂c​=ρe​∑f​Hef​1​∑f​Hef​ρf​∂ρf​∂c​
Hef​=max(0,R−dist(e,f))
MMA更新：minρ​∑i=1n​(Ui​−ρi​p0i​​+ρi​−Li​q0i​​)
s.t. gj​(ρ)≤0

应用场景​

结构轻量化，柔顺机构，材料设计，多物理场优化

依赖条件​

软件：SIMP代码，水平集代码，商用软件(OptiStruct)
硬件：多次有限元分析，计算量大
数据：设计域，载荷，约束，制造约束

算法思想​

在给定设计域内优化材料分布，使结构在约束下性能最优

理论依据​

优化理论，变分法，均匀化理论，灵敏度分析

算法特性​

可得到创新结构，但可能有多重局部最优，棋盘格现象

时间复杂度​

每次迭代：O(N1.5)(FEA) + O(N)(更新)
总：O(Niter​N1.5)

空间复杂度​

存储设计变量和敏度：O(N)
有限元矩阵：O(N1.5)

适用类型​

静力学，动力学，热传导，流体，多物理场优化

优点​

创新设计，材料利用率高，可处理复杂约束

缺点​

计算成本高，棋盘格现象，局部最优，制造约束需后处理

公式​

an​=M−1(Fnext​−Fnint​)
vn+1/2​=vn−1/2​+Δtan​
un+1​=un​+Δtvn+1/2​

un+1​=un​+Δtvn​+Δt2[(1/2−β)an​+βan+1​]
vn+1​=vn​+Δt[(1−γ)an​+γan+1​]
Man+1​+Cvn+1​+Kun+1​=Fn+1ext​

Man+1​+(1+α)Cvn+1​−αCvn​+(1+α)Kun+1​−αKun​=Fn+1+αext​
Fn+1+αext​=(1+α)Fn+1ext​−αFnext​

Man+1−αm​​+Cvn+1−αf​​+Kun+1−αf​​=Fn+1−αf​ext​
un+1−αf​​=(1−αf​)un+1​+αf​un​
vn+1−αf​​=(1−αf​)vn+1​+αf​vn​
an+1−αm​​=(1−αm​)an+1​+αm​an​

参数​

无参数

γ≥1/2, β≥(1+γ)2/4无条件稳定

α∈[−1/3,0], β=(1−α)2/4, γ=1/2−α

αm​=ρ∞​+12ρ∞​−1​, αf​=ρ∞​+1ρ∞​​, β=41​(1−αf​+αm​)2, γ=1/2−αf​+αm​

稳定性​

条件稳定：Δt≤Δtcrit​=2/ωmax​

无条件稳定(当γ≥1/2,β≥(1/2+γ)2/4)

无条件稳定(当α∈[−1/3,0])

无条件稳定(当αm​≤αf​≤1/2)

数值耗散​

无

有(当γ>1/2)

可控，高频耗散

可控，高频耗散，低频保真

精度​

二阶

二阶(当γ=1/2)，一阶(当γ=1/2)

二阶(当γ=1/2−α)

二阶

计算成本​

低(无需求解线性系统)

高(需迭代求解非线性系统)

高(类似Newmark)

高(类似Newmark)

适用场景​

波动传播，冲击，高速动力学

结构动力学，低频振动

中高频振动，需要数值耗散

中高频振动，需要数值耗散可控

表示方法​

Fn​={kn​g0​g<0g≥0​
Ft​=min(μFn​,kt​Δut​)

约束条件：g≥0
拉格朗日函数：L=Π+λg
KKT条件：g≥0, λ≥0, λg=0

L=Π+λg+21​ϵg2
更新：λk+1=λk+ϵgk

构建方法​

1. 检测接触
2. 计算穿透量g
3. 计算罚力Fn​=kn​g
4. 加入系统方程

1. 检测接触
2. 引入拉格朗日乘子λ
3. 求解KKT条件
4. 求解混合系统

1. 检测接触
2. 初始化λ
3. 求解罚函数问题
4. 更新λ
5. 重复直至收敛

数学方程式​

势能：Π=21​uTKu−uTF+21​kn​g2
刚度矩阵：Kc​=kn​nnT

混合系统：[KN​NT0​][uλ​]=[F0​]
其中Nij​=∂gi​/∂uj​

迭代格式：
Kuk+1=F−NTλk−ϵNTgk
λk+1=max(0,λk+ϵgk+1)

计算公式​

接触刚度：kn​=αEA/h
其中α为罚因子，E为杨氏模量，A为接触面积，h为特征长度

接触矩阵：N=[n1T​,n2T​,...]T
其中ni​为接触点法向

更新乘子：λk+1=max(0,λk+ϵgk+1)
收敛准则：∥gk+1∥<tol

应用场景​

一般接触问题，显式动力学

精确接触约束，无穿透

精确接触约束，数值稳定

算法特性​

简单，数值稳定，但存在穿透，需选择合适罚因子

精确满足接触约束，但增加系统规模，可能病态

结合两者优点，但需迭代

优点​

实现简单，不增加系统规模，数值稳定

精确满足约束，无参数选择

精确满足约束，数值稳定

缺点​

存在穿透，罚因子影响精度和收敛性

增加系统规模，可能病态，主从面选择敏感

需迭代，计算成本较高

表示方法​

迭代格式：KT​(uk)Δu=Fext−Fint(uk)
uk+1=uk+Δu

KT​(u0)Δu=Fext−Fint(uk)
uk+1=uk+Δu

(KT​+λKG​)Δu=ΔλFref
约束方程：∥Δu∥2+ψ2(Δλ)2=Δl2

构建方法​

1. 计算残差R=Fext−Fint
2. 计算切线刚度KT​
3. 求解线性系统KT​Δu=R
4. 更新位移u=u+Δu
5. 检查收敛

1. 计算残差R
2. 使用初始切线刚度KT​(u0)
3. 求解KT​(u0)Δu=R
4. 更新位移
5. 检查收敛

1. 预测步：沿切线方向预测
2. 修正步：求解增广系统
3. 更新位移和载荷因子
4. 检查收敛

收敛准则​

∥R∥<ϵR​∥Fext∥
∥Δu∥<ϵu​∥u∥
$|\Delta E|< \epsilon_E

E

$

收敛速度​

二阶收敛(局部)

一阶收敛

一阶/二阶

计算成本​

高(每次迭代需重构KT​并求解)

中(只需一次分解KT​)

高(需求解增广系统)

存储需求​

存储KT​和分解

存储KT​和分解

存储KT​和KG​

优点​

收敛快，精度高

计算成本低，适合轻度非线性

可通过极值点，跟踪复杂路径

缺点​

每次迭代需重构KT​，可能不收敛

收敛慢，可能不收敛

实现复杂，参数选择敏感

适用场景​

强非线性问题

轻度非线性，计算资源有限

屈曲，后屈曲，软化行为

原理​

将计算域划分为子域，各处理器负责一个子域，边界交换数据

将不同任务分配给不同处理器

将数据分布到各处理器，各处理器执行相同操作

通信模式​

相邻子域边界通信，全局归约

任务间通信，主从模式

全局通信，规约操作

负载平衡​

重要，需均衡各子域计算量

重要，任务分配均衡

重要，数据分布均匀

实现​

MPI，OpenMP+MPI混合

OpenMP，MPI任务并行

MPI，CUDA，OpenCL

适用算法​

有限元，有限体积，多重网格

参数扫描，优化，不确定性分析

矩阵运算，粒子方法，图像处理

优点​

扩展性好，适合大规模计算

适合任务独立场景

简单，适合规则计算

缺点​

通信开销大，负载平衡复杂

任务依赖复杂，通信可能成为瓶颈

数据依赖复杂，通信开销大

原理​

用机器学习模型替代昂贵仿真

用低维模型近似高维系统

从数据学习本构关系

方法​

神经网络，高斯过程，支持向量机

本征正交分解，动态模态分解

神经网络本构，深度学习

训练数据​

仿真或实验数据

高维仿真数据

实验或高保真仿真数据

在线计算​

快速预测

快速求解

快速应力更新

精度​

依赖训练数据和模型复杂度

依赖降维基和截断

依赖数据质量和模型结构

计算成本​

离线训练昂贵，在线预测廉价

离线基构建昂贵，在线求解廉价

离线训练昂贵，在线评估廉价

适用场景​

优化，不确定性量化，实时控制

参数化问题，实时仿真，控制

复杂材料行为，多尺度模拟

优点​

快速预测，可处理高维非线性

大幅降维，快速求解

无需假设本构形式，可发现新关系

缺点​

需要大量训练数据，外推不可靠

基函数依赖训练数据，非线性问题复杂

物理一致性难保证，泛化能力有限

表示方法​

离散玻尔兹曼方程：fi​(x+ci​Δt,t+Δt)−fi​(x,t)=Ωi​(f)
其中fi​为离散分布函数，ci​为离散速度，Ωi​为碰撞算子

构建方法​

1. 离散速度模型选择(D2Q9, D3Q19等)
2. 初始化分布函数
3. 碰撞步：fipost​(x,t)=fi​(x,t)+Ωi​
4. 迁移步：fi​(x+ci​Δt,t+Δt)=fipost​(x,t)
5. 宏观量计算：ρ=∑i​fi​, ρu=∑i​ci​fi​

算法名称​

单松弛时间模型(BGK)，多松弛时间模型(MRT)，隐式LBM，可压LBM

数学方程式​

BGK碰撞：Ωi​=−τ1​(fi​−fieq​)
平衡分布函数：fieq​=wi​ρ[1+cs2​ci​⋅u​+2cs4​(ci​⋅u)2​−2cs2​u⋅u​]
宏观方程：通过Chapman-Enskog展开可恢复Navier-Stokes方程
粘度：ν=cs2​(τ−0.5)Δt

计算公式​

D2Q9模型：
速度：ci​=⎩⎨⎧​(0,0)(±1,0)c,(0,±1)c(±1,±1)c​i=0i=1−4i=5−8​
权系数：w0​=4/9, w1−4​=1/9, w5−8​=1/36
声速：cs​=c/3​
宏观量：ρ=∑i=08​fi​, ρu=∑i=08​ci​fi​

应用场景​

不可压流体，多孔介质流，多相流，微流动，血液流动，湍流模拟

依赖条件​

软件：Palabos, OpenLB, D3Q, LBsoft
硬件：GPU并行效率高，适合大规模计算
数据：离散速度模型，松弛时间，边界条件

算法思想​

基于动理论，模拟粒子分布函数的演化，通过碰撞和迁移步骤恢复宏观流动

理论依据​

动理论，玻尔兹曼方程，Chapman-Enskog展开

算法特性​

并行性好，边界处理简单，适合复杂几何，但高马赫数受限，压力计算需修正

时间复杂度​

每个时间步：O(N)，其中N为格子数
总复杂度：O(Nt​N)

空间复杂度​

存储分布函数：O(bN)，b为离散速度方向数(如D2Q9中b=9)

适用类型​

不可压流动，多相流，复杂边界，微尺度流动

优点​

并行性极好，边界处理简单，程序结构简单，适合复杂几何

缺点​

高马赫数不准确，压力计算需状态方程，内存消耗较大

核函数类型​

高斯核：W(r,h)=(πh2)d/21​exp(−h2r2​)
三次样条：W(q)=hdσ​⎩⎨⎧​1−23​q2+43​q341​(2−q)30​0≤q<11≤q<2q≥2​
五次样条：W(q)=hdσ​⎩⎨⎧​(2−q)3−4(1−q)3(2−q)30​0≤q<11≤q<2q≥2​

密度求解方法​

求和密度：ρi​=∑j​mj​Wij​
连续性方程：dtdρi​​=∑j​mj​(vi​−vj​)⋅∇Wij​
状态方程：Pi​=P0​[(ρ0​ρi​​)γ−1](弱可压)
Tait方程：P=γc02​ρ0​​[(ρ0​ρ​)γ−1]

人工粘度​

Monaghan型：Πij​={ρˉ​ij​−αcˉij​ϕij​+βϕij2​​0​vij​⋅rij​<0otherwise​
$\phi{ij} = \frac{h \mathbf{v}{ij} \cdot \mathbf{r}_{ij}}{

人工应力​

用于抑制拉伸不稳定：
dtdvi​​=−∑j​mj​(ρi2​Pi​​+ρj2​Pj​​+Πij​+Rij​)∇i​Wij​
Rij​=0.01ρi​ρj​Pi​+Pj​​W(Δx)Wij​​

边界处理​

虚粒子：在边界外布置粒子，赋予合适属性
排斥力：Fij​=D(rij​r0​​)nrij​rij​​
镜像粒子：边界对称位置生成镜像粒子

时间积分​

蛙跳法：vn+1/2=vn−1/2+Δtan
rn+1=rn+Δtvn+1/2
预测-修正：预测步用显式欧拉，修正步用梯形规则

邻居搜索​

链表法：网格大小2h，每个粒子搜索周围26个网格(3D)
树形法：KD树，八叉树，适合非均匀分布

应用场景补充​

自由表面流动(水波、溃坝)，流体-结构相互作用(水-船相互作用)，天体物理(星体形成)，爆炸与冲击，生物力学(血液流动)

最新发展​

δ-SPH：密度扩散项抑制压力振荡
ISPH：不可压SPH，压力通过求解泊松方程得到
SPH-ALE：任意拉格朗日-欧拉框架，减少拉伸不稳定

形函数构造​

移动最小二乘(MLS)：uh(x)=pT(x)a(x)
其中a(x)由最小化加权误差得到：J=∑i=1n​wi​(x)[pT(xi​)a(x)−ui​]2
解得：a(x)=A−1(x)B(x)U
A(x)=∑i=1n​wi​(x)p(xi​)pT(xi​), B(x)=[w1​(x)p(x1​),...,wn​(x)p(xn​)]
形函数：ϕi​(x)=pT(x)A−1(x)Bi​(x)

权函数​

高斯权：wi​(x)={1−exp(−(dmi​/c)2)exp(−(di​/c)2)−exp(−(dmi​/c)2)​0​di​≤dmi​di​>dmi​​
样条权：wi​(x)=1−6(dmi​di​​)2+8(dmi​di​​)3−3(dmi​di​​)4
其中di​=∥x−xi​∥, dmi​为影响域半径

数值积分​

背景网格积分：在规则背景网格上高斯积分
节点积分：在节点上积分，无需背景网格
稳定节点积分：KIJ​=∫Ω​(LϕI​)TD(LϕJ​)dΩ+α∫Ω​(ϕI​−ϕI∗​)(ϕJ​−ϕJ∗​)dΩ

边界条件施加​

拉格朗日乘子法：[KG​GT0​][uλ​]=[fq​]
GIj​=∫Γu​​Nj​ϕI​dΓ, qj​=∫Γu​​Nj​uˉdΓ
罚函数法：KIJ​=KIJ​+α∫Γu​​ϕI​ϕJ​dΓ, fI​=fI​+α∫Γu​​ϕI​uˉdΓ
修正变分原理：引入边界条件泛函

本质边界条件施加​

配点法：在边界节点上直接施加ui​=uˉ(xi​)
变换法：将边界节点形函数修正为插值形函数
有限元耦合法：边界附近用有限元，内部用无网格

应用场景补充​

大变形问题(金属成型，爆炸)，裂纹扩展(动态裂纹，分枝裂纹)，自适应分析(hp自适应)，高梯度问题(边界层，冲击波)

最新发展​

重构核粒子法(RKPM)：引入重构核函数，提高稳定性
hp云法：允许形函数阶次变化，提高精度
无网格局部Petrov-Galerkin法(MLPG)：局部弱形式，无需背景网格

裂纹描述​

水平集函数：ϕ(x)=±minxc​∈Γc​​∥x−xc​∥
符号距离函数，正负表示裂纹两侧
裂纹尖端：由两个水平集函数描述
ϕ(x): 到裂纹面的距离
ψ(x): 到裂纹尖端的距离

富集函数​

裂纹面富集(Heaviside函数)：H(x)={1−1​ϕ(x)≥0ϕ(x)<0​
裂尖富集(二维)：
{Fα​(r,θ)}=[r​sin2θ​,r​cos2θ​,r​sin2θ​sinθ,r​cos2θ​sinθ]
裂尖富集(三维)：
{Fα​(r,θ,ϕ)}基于球谐函数

位移场近似​

uh(x)=∑i∈I​Ni​(x)ui​+∑j∈J​Nj​(x)H(x)aj​+∑k∈K​Nk​(x)(∑α=1m​Fα​(x)bkα​)
I: 所有节点，J: 裂纹面完全切割的节点，K: 裂尖影响节点

数值积分​

裂纹切割单元：分为子三角形/子四边形积分
裂尖单元：极坐标变换，径向高斯积分
积分方案：
1. 单元分解为子域
2. 每个子域映射到标准单元
3. 高斯积分

应力强度因子计算​

相互作用积分：J=∫A​(σij​ui,1​−Wδ1j​)q,j​dA
KI​=2(1−ν2)E​J(1)(平面应变)
位移外推法：KI​=limr→0​2(1−ν2)E​r2π​​uθ​(r,π)

裂纹扩展​

最大周向应力准则：θc​=2arctan(41​(KI​/KII​±(KI​/KII​)2+8​))
扩展条件：f(KI​,KII​)≥KIC​
水平集更新：ϕn+1=ϕn+Δa∥∇ϕn∥, ψn+1=ψn+Δa∥∇ψn∥

应用场景补充​

静态裂纹，动态裂纹扩展，裂纹分叉，多裂纹相互作用，三维裂纹，界面裂纹，压电材料裂纹

最新发展​

相场-XFEM耦合：用相场描述裂纹，避免裂纹追踪
自适应XFEM：h-p自适应提高裂尖精度
等几何XFEM：用NURBS描述几何和裂纹，提高精度

快速算法​

快速多极算法(FMM)：
1. 分层划分：建立树结构(四叉树/八叉树)
2. 多极展开：G(xi​,yj​)=∑m=0p​∑n=−mm​Omn​(yc​)Imn​(xi​)
3. 转移：多极-多极，多极-局部，局部-局部
4. 计算：远场用展开，近场直接计算
复杂度：O(NlogN)或O(N)

预处理技术​

对角预处理：P=diag(H)
块对角预处理：P=blockdiag(H)
不完全LU分解：H≈LU
稀疏近似逆：M≈H−1

迭代求解器​

GMRES：适合非对称矩阵
Bi-CGSTAB：适合非对称矩阵，内存需求小
CG：适合对称正定矩阵
预处理：P−1Hx=P−1b

奇异积分处理​

弱奇异(∼1/r)：极坐标变换∫01​∫01​f(ξ,η)dξdη=∫01​∫01​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
强奇异(∼1/r2)：刚性运动法，解析积分
超奇异(∼1/r3)：有限部分积分

对偶边界元法​

裂纹问题：
位移边界积分方程(裂纹一侧)：c(P)u(P)+∫Γ​T(P,Q)u(Q)dΓ(Q)=∫Γ​U(P,Q)t(Q)dΓ(Q)
位移边界积分方程(裂纹另一侧)：−c(P)u(P)+∫Γ​T(P,Q)u(Q)dΓ(Q)=∫Γ​U(P,Q)t(Q)dΓ(Q)
相减得：∫Γ​T(P,Q)[[u(Q)]]dΓ(Q)=∫Γ​U(P,Q){t(Q)}dΓ(Q)

应用场景补充​

声学(噪声分析，声散射)，断裂力学(应力强度因子)，势流(绕流，波浪)，热传导(稳态/瞬态)，弹性力学(接触，应力集中)

最新发展​

等几何边界元法：用NURBS描述几何和场变量，提高精度
快速多极边界元法：处理大规模问题
自适应边界元法：h-p自适应提高精度

B样条/NURBS基础​

节点矢量：Ξ={ξ1​,ξ2​,...,ξn+p+1​}
B样条基函数：
Ni,0​(ξ)={10​ξi​≤ξ<ξi+1​otherwise​
Ni,p​(ξ)=ξi+p​−ξi​ξ−ξi​​Ni,p−1​(ξ)+ξi+p+1​−ξi+1​ξi+p+1​−ξ​Ni+1,p−1​(ξ)
NURBS：Ri,p​(ξ)=∑j=1n​Nj,p​(ξ)wj​Ni,p​(ξ)wi​​
导数：dξd​Ri,p​(ξ)=wi​W2(ξ)Ni,p′​(ξ)W(ξ)−Ni,p​(ξ)W′(ξ)​

细化策略​

节点插入(h-细化)：增加节点不改变几何和参数化
阶次提升(p-细化)：增加基函数阶次
节点细化(k-细化)：先升阶再插入节点
T样条：允许局部细化，更灵活

数值积分​

高斯积分：单元映射到参数空间
$\int\Omega f(x) d\Omega = \int{\hat{\Omega}} f(x(\xi))

边界条件施加​

本质边界条件：
强加：直接施加在控制变量上(仅当边界与控制点重合)
弱加：拉格朗日乘子法，罚函数法，Nitsche法
自然边界条件：自动满足

应用场景补充​

板壳分析：高阶连续，无剪切锁死
流体-结构相互作用：几何精确，高阶精度
形状优化：CAD集成，灵敏度分析方便
等几何边界元法：几何精确，降维

最新发展​

分层B样条：局部细化能力强
T样条：允许T型节点，局部细化
LR B样条：局部细化，最小控制点增加
等几何与相场法耦合：精确描述界面演化

FE²框架​

宏观尺度：平衡方程∇⋅σM=0
微观尺度：平衡方程∇⋅σm=0
尺度耦合：$\sigma^M = \frac{1}{

微观边界条件​

周期性：ui​=εijM​xj​+vi​, vi​周期性
线性：ui​=εijM​xj​
均匀：ti​=σijM​nj​

均匀化过程​

1. 求解微观问题：∫V​δεm:Cm:εmdV=0
2. 计算宏观应力：$\sigma^M = \frac{1}{

计算流程​

1. 宏观尺度：每个积分点调用微观求解器
2. 微观尺度：给定宏观应变εM，求解微观平衡得到应力σm
3. 返回宏观应力和切线模量
4. 宏观尺度组装和求解

加速技术​

模型降阶：POD，RBF，神经网络
数据库：预先计算，插值得到响应
并行计算：微观问题独立，可并行

应用场景补充​

复合材料(纤维增强，颗粒增强)，混凝土(骨料，砂浆)，多孔介质，生物组织(骨，软组织)，纺织复合材料

最新发展​

非局部多尺度：考虑尺度间耦合
数据驱动多尺度：机器学习替代微观求解器
不确定性多尺度：考虑微观不确定性传递

代理模型​

高斯过程：f(x)∼GP(m(x),k(x,x′))
神经网络：f(x)=Wn​σ(Wn−1​...σ(W1​x+b1​)...+bn−1​)+bn​
支持向量机：min21​∥w∥2+C∑i=1n​ξi​, s.t. yi​(w⋅xi​+b)≥1−ξi​

模型降阶​

本征正交分解(POD)：u(x,t)=∑i=1r​ai​(t)ϕi​(x)
动态模态分解(DMD)：X′≈AX, A=X′X+
自编码器：编码器z=fe​(x)，解码器x^=fd​(z)

数据驱动本构​

神经网络本构：σ=fNN​(ε,ε˙,T,...)
物理信息神经网络：损失函数=数据损失+物理约束(平衡方程，本构关系)
符号回归：从数据发现本构关系形式

强化学习控制​

状态s，动作a，奖励r，策略π(a∥s)
目标：最大化累积奖励R=∑γtrt​
应用：主动流动控制，结构振动控制，机器人控制

异常检测​

自编码器：重建误差识别异常
单类SVM：识别正常数据范围
应用：结构健康监测，故障诊断

生成模型​

生成对抗网络(GAN)：生成微结构，数据增强
变分自编码器(VAE)：生成低维表示
应用：材料设计，微结构生成

物理信息机器学习​

物理信息神经网络(PINN)：
损失函数L=Ldata​+LPDE​+LBC​+LIC​
DeepONet：学习算子映射
Fourier神经算子：在傅里叶空间学习算子

应用场景补充​

参数化模型快速预测，不确定性量化，反问题求解，材料设计，结构健康监测，流动控制

CPU并行​

OpenMP：共享内存，指令级并行，循环并行化
MPI：分布式内存，消息传递，域分解
混合编程：OpenMP+MPI，节点内OpenMP，节点间MPI

GPU并行​

CUDA：NVIDIA GPU，线程层次(grid, block, thread)
OpenCL：跨平台GPU/CPU/FPGA
OpenACC：指令制导，相对简单

众核架构​

Intel Xeon Phi：众核x86，AVX-512指令集
ARM架构：能效高，适合超算

量子计算​

量子比特：叠加态，纠缠
量子算法：Shor，Grover，HHL
应用：量子化学，优化问题，机器学习

云计算​

弹性计算：按需分配资源
容器化：Docker，Singularity
无服务器计算：函数即服务

软件框架​

PETSc：线性/非线性求解器库
Trilinos：求解器库，包含多个包
FEniCS：自动化有限元系统
Deal.II：有限元库，支持自适应

性能优化​

算法优化：降低计算复杂度
并行优化：负载均衡，减少通信
内存优化：数据局部性，缓存友好
向量化：SIMD指令，数据并行

应用场景补充​

大规模CFD(千万网格)，分子动力学(百万原子)，拓扑优化(百万设计变量)，实时仿真(数字孪生)

表示方法​

离散玻尔兹曼方程：fi​(x+ci​Δt,t+Δt)=fi​(x,t)+Ωi​(x,t)
碰撞项：Ωi​=−τ1​[fi​−fieq​](BGK模型)

构建方法​

1. 离散速度模型选择(D2Q9, D3Q19, D3Q27等)
2. 初始化分布函数
3. 碰撞步：fi∗​(x,t)=fi​(x,t)+Ωi​(x,t)
4. 迁移步：fi​(x+ci​Δt,t+Δt)=fi∗​(x,t)
5. 计算宏观量：ρ=∑i​fi​, ρu=∑i​ci​fi​

算法名称​

BGK模型，MRT模型，TRT模型，浸入边界LBM，多相LBM

数学方程式​

平衡分布函数(D2Q9)：
fieq​=wi​ρ[1+cs2​ci​⋅u​+2cs4​(ci​⋅u)2​−2cs2​u⋅u​]
权重：w0​=4/9, w1−4​=1/9, w5−8​=1/36
声速：cs​=c/3​, c=Δx/Δt
粘度：ν=cs2​(τ−0.5)Δt

计算公式​

MRT碰撞：m=Mf, m∗=m−S(m−meq)
其中M为变换矩阵，S为松弛矩阵
宏观量计算：
密度：ρ=∑i=0Q−1​fi​
动量：ρu=∑i=0Q−1​ci​fi​
应力：Παβ​=∑i=0Q−1​ciα​ciβ​fi​

应用场景​

不可压缩流动，多孔介质流，多相流，微纳流动，血液流动，湍流模拟

依赖条件​

软件：Palabos, OpenLB, D3Q, LBsoft
硬件：GPU并行效率高，适合大规模计算
数据：离散速度模型，松弛时间，边界条件

算法思想​

基于动理论，模拟粒子分布函数的碰撞和迁移过程，通过Chapman-Enskog展开恢复宏观Navier-Stokes方程

理论依据​

动理论，玻尔兹曼方程，Chapman-Enskog展开，格子气自动机

算法特性​

高度并行，边界处理简单，适合复杂几何，压力可直接计算，但高马赫数受限

时间复杂度​

每个时间步：O(N)，N为格子数
总复杂度：O(Nt​N)

空间复杂度​

存储分布函数：O(QN)，Q为离散速度方向数(D2Q9中Q=9)

适用类型​

不可压缩流，复杂边界流动，多孔介质，多相流，微尺度流动

优点​

高度并行，边界处理简单，压力直接可得，程序结构简单

缺点​

高马赫数不准确，压缩效应显著时不适用，内存消耗较大

表示方法​

流固耦合方程：
流体：ρ(∂t∂u​+u⋅∇u)=−∇p+μ∇2u+f
固体：F(s,t)=F[X(s,t)]
耦合：f(x,t)=∫F(s,t)δ(x−X(s,t))ds
∂t∂X​=∫u(x,t)δ(x−X(s,t))dx

构建方法​

1. 背景欧拉网格(流体)
2. 拉格朗日网格(结构)
3. 力延拓：将结构力分布到流体网格
4. 速度插值：将流体速度插值到结构点
5. 结构运动：更新结构位置

算法名称​

直接力法，虚拟边界法，反馈力法，浸入界面法

数学方程式​

狄拉克函数近似：δh​(x)=hd1​ϕ(hx​)ϕ(hy​)ϕ(hz​)
常见核函数：$\phi(r) = \begin{cases} \frac{1}{8}(3 - 2

计算公式​

反馈力法：F=α(Ud​−U)+β∫0t​(Ud​−U)dt
其中Ud​为期望速度(结构速度)，U为插值得到的流体速度
直接力法：F=Δtρ​(Ud​−u∗)
其中u∗为中间速度

应用场景​

流固耦合，生物流体(血液流动，心脏瓣膜)，柔性结构，颗粒悬浮，鱼类游动

依赖条件​

软件：IBAMR, OpenFOAM+IBM, Fluidity
硬件：需要处理非结构插值，计算量较大
数据：结构几何，材料属性，流体边界条件

算法思想​

在固定的欧拉网格上求解流体方程，用拉格朗日点表示结构，通过狄拉克函数实现力与速度的交换

理论依据​

分布函数理论，流固耦合理论，浸入边界概念

算法特性​

无需动网格，适合大变形，可处理复杂结构，但精度受插值影响，质量不严格守恒

时间复杂度​

每个时间步：O(Nf​)+O(Ns​)
插值操作：O(Ns​×nsupport​)
总复杂度：O(Nt​(Nf​+Ns​))

空间复杂度​

流体变量：O(Nf​)
结构变量：O(Ns​)
插值权重：O(Ns​×nsupport​)

适用类型​

流固耦合，大变形结构，多体相互作用，生物流体力学

优点​

无需动网格，适合大变形，可处理复杂拓扑变化，实现相对简单

缺点​

界面分辨率受流体网格限制，质量守恒不严格，刚度处理困难

表示方法​

扩展域：Ω=Ωf​∪Ωs​
统一方程：ρ(∂t∂u​+u⋅∇u)=−∇p+μ∇2u+f+λ
约束：u=U+ω×r在Ωs​内
其中λ为拉格朗日乘子，施加无滑移条件

构建方法​

1. 定义包含流体和固体的扩展域
2. 在扩展域上求解统一的流体方程
3. 通过拉格朗日乘子施加固体约束
4. 更新固体位置和速度

算法名称​

分布式拉格朗日乘子法，虚拟区域有限元法，浸入有限元法

数学方程式​

弱形式：
∫Ω​[ρ(∂t∂u​+u⋅∇u)⋅v+μ∇u:∇v−p∇⋅v]dΩ
+∫Ωs​​λ⋅(v−V−ω×r)dΩ=0
∫Ωs​​μ⋅(u−U−ω×r)dΩ=0

计算公式​

离散系统：​ABC​BT00​CT00​​​upλ​​=​f0g​​
其中C为约束矩阵，λ为拉格朗日乘子
Uzawa算法：
1. 求解流体方程(无约束)
2. 更新乘子：λk+1=λk+ρ(uk+1−usk+1​)
3. 重复直到收敛

应用场景​

颗粒悬浮，流化床，血液流动，沉降问题，搅拌槽

依赖条件​

软件：FEEL++, GetFEM, 商业CFD软件定制
硬件：需要求解带约束的线性系统
数据：固体几何，材料属性，流体边界条件

算法思想​

将流体和固体区域统一在一个扩展域中求解，通过拉格朗日乘子施加固体约束，避免动网格

理论依据​

拉格朗日乘子法，变分原理，分布式优化

算法特性​

统一求解流体固体，避免动网格，适合多体问题，但系统规模大，约束处理复杂

时间复杂度​

每个时间步：O((Nf​+Ns​)1.5)
约束迭代：O(Niter​Ns​)
总复杂度：O(Nt​(Nf​+Ns​)1.5)

空间复杂度​

流体变量：O(Nf​)
固体变量：O(Ns​)
约束矩阵：O(Ns​×Nf​)

适用类型​

颗粒悬浮，多体运动，流固耦合，沉降问题

优点​

避免动网格，统一求解，适合多体问题，质量守恒好

缺点​

系统规模大，约束处理复杂，界面分辨率受网格限制

表示方法​

ALE描述：$\frac{\partial f}{\partial t} \bigg

构建方法​

1. 拉格朗日步：在移动网格上求解
2. 重映射步：将解映射到新网格
3. 网格更新：根据边界运动更新内部网格

算法名称​

ALE有限元，ALE有限体积，ALE-SPH，结构ALE

数学方程式​

质量守恒：∂t∂ρ​+ρ∇⋅u+(u−w)⋅∇ρ=0
动量守恒：ρ(∂t∂u​+(u−w)⋅∇u)=−∇p+μ∇2u+f
几何守恒：dtd​∫Ω(t)​dΩ−∫∂Ω(t)​w⋅ndΓ=0

计算公式​

网格速度：w=Δtxn+1−xn​
对流项离散：(u−w)⋅∇f≈∑f​ϕf​(ff​−fP​)
其中ϕf​=(uf​−wf​)⋅nf​Af​
网格更新：弹簧类比法Fij​=kij​(xj​−xi​)
Laplace平滑：∇2w=0

应用场景​

流固耦合，自由表面流动，界面追踪，大变形问题，金属成型

依赖条件​

软件：LS-DYNA, ABAQUS, ADINA, OpenFOAM(动网格)
硬件：网格运动需要额外计算
数据：边界运动规律，网格更新策略，重映射方法

算法思想​

结合拉格朗日和欧拉描述优点，网格可任意运动，既避免网格畸变，又减少对流项误差

理论依据​

移动坐标系，黎曼几何，任意参考系

算法特性​

网格可动，适合移动边界，可精确追踪界面，但网格质量需维护，重映射可能耗散

时间复杂度​

每个时间步：O(N1.5)+ 网格更新O(N)
重映射：O(NlogN)
总复杂度：O(Nt​N1.5)

空间复杂度​

存储网格和变量：O(N)
重映射权重：O(N×nneighbor​)

适用类型​

移动边界，自由表面，流固耦合，大变形但拓扑不变

优点​

精确追踪界面，适合移动边界，对流项处理优于纯拉格朗日

缺点​

网格可能畸变，重映射耗散，实现复杂，计算成本高

表示方法​

水平集函数：ϕ(x,t)，界面为Γ(t)={x:ϕ(x,t)=0}
符号距离函数：$

构建方法​

1. 初始化水平集函数(符号距离函数)
2. 求解水平集演化方程
3. 重新初始化保持符号距离性质
4. 提取界面ϕ=0

算法名称​

水平集法，快速步进法，窄带法，稀疏场法

数学方程式​

水平集方程：$\frac{\partial \phi}{\partial t} + F

计算公式​

迎风格式：Δtϕijn+1​−ϕijn​​+max(Fij​,0)∇+ϕijn​+min(Fij​,0)∇−ϕijn​=0
其中∇+ϕ=[max(Dij−x​ϕ,0)2+min(Dij+x​ϕ,0)2+max(Dij−y​ϕ,0)2+min(Dij+y​ϕ,0)2]1/2
快速步进法：$

应用场景​

界面追踪，多相流，晶体生长，图像分割，拓扑优化

依赖条件​

软件：Level Set Toolbox, OpenFOAM(interFoam), COMSOL
硬件：需要高分辨率，计算量较大
数据：初始界面，速度场，重新初始化频率

算法思想​

用高维函数的零等值面表示低维界面，通过求解演化方程更新界面，自然处理拓扑变化

理论依据​

曲线演化理论，符号距离函数，双曲守恒律

算法特性​

自然处理拓扑变化，可计算几何量，但需重新初始化，质量守恒不严格

时间复杂度​

每个时间步：O(N)
重新初始化：O(N)
总复杂度：O(Nt​N)

空间复杂度​

存储水平集函数：O(N)
窄带存储：O(Nband​)

适用类型​

界面演化，多相流，拓扑优化，图像分割

优点​

自然处理拓扑变化，几何量易得，高维表示简单

缺点​

质量不守恒，需重新初始化，计算量大，精度依赖网格

自由能泛函​

Ginzburg-Landau自由能：$F[\phi] = \int_V \left[ f(\phi) + \frac{\epsilon^2}{2}

演化方程​

Allen-Cahn方程(非保守)：∂t∂ϕ​=−Mμ=M(ϵ2∇2ϕ−f′(ϕ))
Cahn-Hilliard方程(保守)：∂t∂ϕ​=∇⋅(M∇μ)
耦合力学：∂t∂ϕ​=−M(δϕδF​+δϕδEelast​​)

数值方法​

凸分裂：f(ϕ)=fc​(ϕ)−fe​(ϕ)，凸部分隐式，凹部分显式
时间离散：Δtϕn+1−ϕn​=M(ϵ2∇2ϕn+1−fc′​(ϕn+1)+fe′​(ϕn))
谱方法：ϕ^​n+1=1+ΔtM(ϵ2k2+fc′​(ϕn)​/ϕ^​n+1)ϕ^​n−ΔtMfe′​(ϕn)​​

裂纹相场​

能量分解：$E = \int\Omega g(c) \psi^+(\epsilon) + \psi^-(\epsilon) d\Omega + G_c \int\Omega \left( \frac{1}{2l} c^2 + \frac{l}{2}

应用扩展​

相变(凝固，固态相变)，裂纹扩展，晶粒生长，生物膜，肿瘤生长，电化学相变

最新发展​

自适应网格，高阶时间格式，多相场，多物理场耦合，数据驱动相场

优点补充​

避免显式界面追踪，自然处理复杂拓扑，易于耦合多物理场，理论严谨

缺点补充​

界面厚度人为设定，高分辨率需求，计算量大，参数敏感

表示方法​

高维模型：dtdu​=f(u,t;μ), u∈RN
降维近似：u(t;μ)≈u0​+Φq(t;μ), q∈Rr, r≪N
其中Φ=[ϕ1​,ϕ2​,...,ϕr​]为降维基

构建方法​

1. 采样：在高维参数空间采样
2. 求解：计算高维解(快照)
3. 压缩：提取主导模式(POD)
4. 投影：将方程投影到低维空间
5. 求解：求解低维方程

算法名称​

本征正交分解(POD)，动态模式分解(DMD)，降基法(RB)，平衡截断(BT)

数学方程式​

POD：minΦ​∑i=1Ns​​∥ui​−ΦΦTui​∥2, s.t. ΦTΦ=I
解为协方差矩阵C=UUT的前r个特征向量
Galerkin投影：ΦTMΦdtdq​=ΦTf(u0​+Φq,t;μ)
POD-DEIM：f(u)≈Φf​(ΨTΦf​)−1ΨTf(u)

计算公式​

POD基构造：
1. 快照矩阵U=[u1​,u2​,...,uNs​​]
2. 奇异值分解U=WΣVT
3. 取前r个左奇异向量Φ=W:,1:r​
误差估计：ϵPOD​=∑i=r+1Ns​​σi2​/∑i=1Ns​​σi2​​
DEIM插值点选择：
1. 取第一个最大基向量位置
2. 循环：$p = \arg \max

应用场景​

参数化模型快速求解，优化设计，实时控制，不确定性量化，流场重构

依赖条件​

软件：EZY, pyMOR, RBniCS, ITHACA-FV
硬件：离线阶段计算密集，在线阶段快速
数据：参数空间采样，高维解快照

算法思想​

通过提取高维系统的主导模式，将方程投影到低维子空间，实现快速求解

理论依据​

奇异值分解，Krylov子空间，平衡实现，压缩感知

算法特性​

大幅降低计算成本，适合参数化问题，但离线阶段昂贵，非线性项处理困难

时间复杂度​

离线阶段：O(Ns​N2)(POD)
在线阶段：O(r3)(线性)，O(r3+N)(非线性)
总：O(Ns​N2)+O(Nonline​r3)

空间复杂度​

存储基矩阵：O(Nr)
快照存储：O(Ns​N)

适用类型​

参数化线性/非线性系统，时变系统，多查询场景

优点​

在线计算快，适合实时应用，参数化分析高效

缺点​

离线计算昂贵，非线性处理困难，外推不可靠，精度依赖基函数

表示方法​

高维模型：y=f(x), x∈Rd, f昂贵
代理模型：y≈f^​(x;θ)
目标：minθ​∑i=1N​(yi​−f^​(xi​;θ))2

构建方法​

1. 实验设计：采样参数空间
2. 仿真计算：获取训练数据
3. 模型选择：选择代理模型类型
4. 模型训练：拟合参数
5. 模型验证：验证代理模型精度

模型类型​

多项式回归，Kriging，径向基函数，支持向量回归，神经网络，高斯过程

数学方程式​

Kriging：f^​(x)=μ+∑i=1N​wi​ψ(∥x−xi​∥)
协方差函数：$\psi(h) = \exp(-\sum_{j=1}^d \theta_j

实验设计​

全因子设计：md个点，m为水平数
拉丁超立方：每个维度均匀分层，随机组合
Sobol序列：低差异序列，xk​={2k​,4k​,8k​,...}
最优设计：D-最优，A-最优，最大熵设计

验证方法​

交叉验证：k-fold，留一法
误差指标：R2=1−∑(yi​−yˉ​)2∑(yi​−y^​i​)2​
均方根误差：RMSE=N1​∑i=1N​(yi​−y^​i​)2​
最大绝对误差：$MAE = \max_i

应用场景​

优化设计，不确定性量化，灵敏度分析，参数标定，实时仿真

依赖条件​

软件：SMT, Dakota, OpenTURNS, scikit-learn
硬件：训练计算依赖样本点数量和质量
数据：样本点输入-输出对，可能需高维采样

算法思想​

用廉价数学模型替代昂贵仿真模型，通过数据驱动方法构建近似模型

理论依据​

统计学习，插值理论，贝叶斯推断，神经网络理论

算法特性​

快速预测，适合优化和不确定性分析，但需要训练数据，外推不可靠

时间复杂度​

训练：Kriging O(N3)，RBF O(N3)，神经网络 O(Nepoch​Nd)
预测：Kriging O(N)，RBF O(N)，神经网络 O(d)

空间复杂度​

存储训练数据：O(Nd)
模型参数：Kriging O(N2)，神经网络 O(W)

适用类型​

黑箱函数近似，高维参数空间，多查询应用

优点​

预测快速，可处理高维非线性，适合优化和不确定性分析

缺点​

需要大量训练数据，外推不可靠，高维训练困难，过拟合风险

基本思想​

直接从数据学习材料行为，避免显式本构模型
数据驱动求解：mins∈S​minz∈D​d(s,z)
其中s为状态变量，z为数据点，d为距离函数

构建方法​

1. 数据采集：实验或高保真仿真数据
2. 数据预处理：归一化，降维
3. 模型构建：神经网络，本征正交分解，字典学习
4. 模型集成：嵌入求解器
5. 验证验证

方法分类​

1. 数据驱动求解：直接最小化与数据距离
2. 机器学习替代：代理模型替代物理模型
3. 物理信息机器学习：物理约束融入机器学习

数据驱动求解​

最小化距离：mins∈S​minz∈D​∥s−z∥
交替求解：
局部步：∀x∈Ω,z(x)=argminz∈D​∥s(x)−z∥
全局步：mins∈S​∫Ω​∥s(x)−z(x)∥2dx

物理信息神经网络​

损失函数：L=Ldata​+LPDE​+LBC​+LIC​
PDE损失：LPDE​=Nf​1​∑i=1Nf​​∥N[u(xi​)]−f(xi​)∥2
BC损失：LBC​=Nb​1​∑i=1Nb​​∥B[u(xi​)]−g(xi​)∥2
自动微分：∂x∂u​=∂x∂NN(x;θ)​

神经网络本构​

输入：应变历史ε(t)，温度T，内变量q
输出：应力σ(t)，内变量更新Δq
架构：循环神经网络(RNN)，长短期记忆(LSTM)，Transformer
约束：材料对称性，热力学一致性，材料稳定性

应用场景​

复杂材料本构，多尺度模拟，逆问题，实时仿真，材料设计

依赖条件​

软件：TensorFlow, PyTorch, SciANN, DeepXDE
硬件：GPU加速训练，大内存存储数据
数据：高质量实验或仿真数据，覆盖状态空间

算法思想​

从数据直接学习物理规律，避免显式建模假设，发现新本构关系

理论依据​

统计学习，逼近理论，热力学，本构理论

算法特性​

可处理复杂本构，数据驱动，但需要大量数据，物理一致性难保证

时间复杂度​

训练：O(Nepoch​Ndata​d)
预测：O(d)
数据驱动求解：O(Niter​(Nglobal​+Nlocal​))

空间复杂度​

存储数据：O(Ndata​d)
模型参数：O(W)

适用类型​

复杂材料行为，多物理场耦合，数据丰富但模型未知问题

优点​

避免建模假设，可发现新关系，处理复杂非线性，高维映射

缺点​

需要大量数据，外推不可靠，物理一致性难保证，可解释性差

加速策略​

1. 模型降阶：POD，深度学习
2. 代理模型：Kriging，神经网络
3. 专用硬件：GPU，FPGA，ASIC
4. 多保真度模型：混合高-低保真模型
5. 自适应精度：误差控制，自适应细化

模型降阶实时​

离线阶段：构建降阶基Φ
在线阶段：求解降阶方程ΦTKΦq=ΦTF
复杂度：离线O(N3)，在线O(r3)

代理模型实时​

训练阶段：采样，仿真，拟合
预测阶段：y^​=fSM​(x)
复杂度：训练O(N3)，预测O(d)

专用硬件​

GPU：大规模并行，适合FEM，SPH，LBM
FPGA：流水线，低延迟，适合固定算法
ASIC：专用电路，最高效率，适合特定应用

多保真度​

控制方程简化：线性化，降维，简化物理
空间降维：粗网格，子模型
时间简化：大时间步，准静态假设

自适应精度​

误差估计：∥u−uh​∥≤Chp
自适应：h→h/2如果误差 >阈值
实时控制：平衡精度和计算时间

应用场景​

手术仿真，虚拟训练，数字孪生，实时控制，交互设计

性能指标​

延迟：<100ms 实时交互，<10ms 硬实时
帧率：>30Hz 流畅，>100Hz 逼真
精度：满足应用需求

软件框架​

SOFA(医学仿真)，SIMULIA(数字孪生)，Unity/Unreal+物理引擎，专用实时求解器

挑战​

精度-速度权衡，模型简化验证，硬件依赖，通用性-专用性平衡

量子算法​

1. 量子线性系统算法(HHL)：O(logN)求解线性系统
2. 量子本征值求解：量子相位估计
3. 量子优化：量子近似优化算法(QAOA)
4. 量子机器学习：量子神经网络

HHL算法​

问题：Ax=b
步骤：1. 制备$

力学应用​

1. 有限元线性系统：Ku=F
2. 本征值问题：Kϕ=λMϕ
3. 优化设计：拓扑优化，参数优化
4. 材料设计：分子模拟，量子化学

量子优势​

指数加速(理论上)，适合线性系统，本征值问题，优化问题

当前限制​

量子比特数有限，噪声影响，量子态制备，结果读取，错误纠正

混合算法​

量子-经典混合：经典主循环，量子子程序
变分量子本征值求解器(VQE)：$E(\theta) = \langle \psi(\theta)

软件框架​

Qiskit(IBM)，Cirq(Google)，Q#(Microsoft)，Pennylane(Xanadu)

硬件平台​

超导量子比特(IBM，Google)，离子阱(IonQ)，光子量子计算，中性原子

挑战​

量子比特数，退相干时间，门错误率，量子经典接口，算法实现

表示方法​

an​=M−1(Fnext​−Fnint​)
vn+1/2​=vn−1/2​+Δtan​
un+1​=un​+Δtvn+1/2​

un+1​=un​+Δtvn​+Δt2[(1/2−β)an​+βan+1​]
vn+1​=vn​+Δt[(1−γ)an​+γan+1​]
Man+1​+Cvn+1​+Kun+1​=Fn+1ext​

Man+1−αm​​+Cvn+1−αf​​+Kun+1−αf​​=Fn+1−αf​ext​
un+1−αf​​=(1−αf​)un+1​+αf​un​
an+1−αm​​=(1−αm​)an+1​+αm​an​

稳定性​

条件稳定：Δt≤Δtcrit​=ωmax​2​

无条件稳定(当γ≥1/2,β≥(1/2+γ)2/4)

无条件稳定(适当参数)

精度​

二阶精度

二阶精度(当γ=1/2)

二阶精度，数值耗散可调

计算成本​

低(无需求解线性系统)

高(需迭代求解非线性系统)

高(类似Newmark)

适用场景​

波动传播，冲击，高速动力学

结构动力学，低频振动

中高频振动，需要数值耗散

优点​

简单高效，适合并行，内存需求小

无条件稳定，适合长期积分，数值耗散小

数值耗散可控，高频衰减好

缺点​

时间步长受限制，不适合刚性问题

需迭代求解，计算成本高，数值耗散不可控

参数选择复杂，实现复杂

表示方法​

位移场逼近：uh(x)=∑i∈I​Ni​(x)ui​+∑j∈J​Nj​(x)H(x)aj​+∑k∈K​Nk​(x)(∑α=14​Fα​(x)bkα​)
其中 H(x)是跳跃函数，Fα​(x)是裂尖渐进函数。

构建方法​

1. 常规有限元网格生成，不要求网格与不连续面一致
2. 识别被不连续面切割的单元
3. 在这些单元中加入富集函数
4. 单元刚度矩阵计算（可能需要划分子单元进行积分）
5. 组装和求解总体方程

算法名称​

XFEM，广义有限元法（GFEM）的一种特殊形式

数学方程式​

富集函数：
1. 跳跃富集：H(x)=sign(ϕ(x))={1−1​ϕ(x)≥0ϕ(x)<0​
2. 裂尖富集（线弹性）：Fα​(r,θ)={r​sin2θ​,r​cos2θ​,r​sin2θ​sinθ,r​cos2θ​sinθ}
其中 (r,θ)是以裂尖为原点的极坐标。

计算公式​

刚度矩阵计算：Kij​=∫Ω​BiT​DBj​dΩ，其中 Bi​包含常规部分和富集部分的形函数导数。
对于被裂纹切割的单元，通常采用子三角形积分或等效积分点。

应用场景​

裂纹扩展，材料界面，夹杂，孔洞，生物力学中的骨裂纹，复合材料分层

依赖条件​

软件：Abaqus（XFEM模块），开源代码如XFEM，GETFEM等
硬件：需要较高的计算资源，特别是动态裂纹扩展
数据：裂纹路径，材料参数，富集函数选择

算法思想​

在常规有限元近似空间中加入已知解特征的富集函数，从而在不调整网格的情况下模拟不连续和奇异性。

理论依据​

单位分解法，广义有限元法，裂纹尖端渐近场理论

算法特性​

网格与不连续面独立，裂纹扩展无需重划网格，但积分复杂，条件数可能较大。

时间复杂度​

与常规FEM相当，但每个被切割单元需要更多的积分点，且系统矩阵可能更大（因额外自由度）。

空间复杂度​

存储常规和富集自由度，以及裂纹几何信息。

适用类型​

不连续问题，奇异场问题，裂纹扩展，多材料界面

优点​

网格独立，裂纹扩展无需重划网格，可模拟复杂裂纹路径

缺点​

积分复杂，条件数大，动态裂纹扩展的稳定性问题，富集函数选择困难

表示方法​

移动最小二乘近似：uh(x)=∑i=1n​pi​(x)ai​(x)=pT(x)a(x)
其中系数 a(x)通过最小化加权离散误差得到：J=∑i=1N​w(∥x−xi​∥)[pT(xi​)a(x)−ui​]2

构建方法​

1. 布置节点（无需连接成单元）
2. 定义影响域（权重函数支持域）
3. 在每个积分点构造形函数
4. 基于伽辽金法建立离散系统
5. 求解得到节点参数（注意：节点参数不是真实位移，需用MLS得到位移）

算法名称​

无网格伽辽金法，移动最小二乘法，扩散单元法

数学方程式​

形函数：NI​(x)=pT(x)A−1(x)BI​(x)
其中 A(x)=∑i=1N​wi​(x)p(xi​)pT(xi​)，BI​(x)=wI​(x)p(xI​)
权函数：例如高斯权函数 w(r)={exp(−(r/c)2)−exp(−(rm​/c)2)0​r≤rm​r>rm​​
或样条权函数。

计算公式​

离散方程：Ku=F
其中 KIJ​=∫Ω​BIT​DBJ​dΩ，FI​=∫Ω​NI​fdΩ+∫Γt​​NI​tˉdΓ
注意：形函数不满足克罗内克δ性质，需用拉格朗日乘子或罚函数法施加本质边界条件。

应用场景​

大变形，裂纹扩展，高速冲击，金属成型，自适应分析

依赖条件​

软件：EFG代码，LS-DYNA中的EFG选项，MESHLESS代码
硬件：需要较高的内存和计算时间，因为形函数构造复杂
数据：节点分布，权函数参数，积分方案

算法思想​

基于移动最小二乘构造形函数，仅依赖节点，不依赖网格，用背景网格积分。

理论依据​

移动最小二乘，伽辽金法，单位分解法

算法特性​

无需单元，自适应容易，可处理大变形，但计算成本高，边界处理复杂。

时间复杂度​

形函数构造：O(nN)，其中n是节点数，N是积分点数。求解与FEM类似。

空间复杂度​

存储节点信息，形函数在积分点计算，不存储全局形函数。

适用类型​

大变形，裂纹扩展，冲击，自适应分析

优点​

无需网格，自适应简单，可处理大变形，精度高

缺点​

计算成本高，边界条件处理复杂，数值积分困难，稳定性和一致性证明复杂

表示方法​

粒子运动方程：mi​x¨i​=∑j​Fij​+Fiext​
Ii​ω˙i​=∑j​Mij​
接触力：Fij​=Fn​+Ft​，包括法向和切向分量。

构建方法​

1. 生成粒子系统（位置、速度、大小、形状）
2. 检测接触（邻居搜索）
3. 计算接触力（本构模型）
4. 积分运动方程（显式时间积分）
5. 更新粒子位置和速度
6. 循环直到结束

算法名称​

离散元法，分子动力学（硬球，软球），接触动力学

数学方程式​

线性弹簧阻尼模型：Fn​=kn​δn​−cn​vn​
其中 δn​是重叠量，vn​是相对法向速度。
切向力：Ft​=min(kt​δt​,μFn​)，其中 δt​是切向位移，μ是摩擦系数。
滚动摩擦，扭转载荷等也可考虑。

计算公式​

邻居搜索：网格法，Verlet列表，树形结构。
时间积分：Verlet，速度Verlet，蛙跳法。
速度Verlet：x(t+Δt)=x(t)+v(t)Δt+21​a(t)Δt2
v(t+Δt/2)=v(t)+21​a(t)Δt
计算力 F(t+Δt)，然后 v(t+Δt)=v(t+Δt/2)+21​a(t+Δt)Δt

应用场景​

颗粒流动，岩石力学，粉末加工，岩土工程，散体物料

依赖条件​

软件：PFC，EDEM，LIGGGHTS，YADE
硬件：需要大量内存和计算资源，特别是粒子数多时
数据：粒子性质（大小，形状，密度，刚度，摩擦系数等），边界条件

算法思想​

将材料视为离散粒子的集合，粒子间通过接触相互作用，通过求解每个粒子的运动方程来模拟系统行为。

理论依据​

牛顿第二定律，接触力学，颗粒物质力学

算法特性​

可模拟大变形，破裂，流动，但计算量大，参数标定困难。

时间复杂度​

每个时间步：邻居搜索 O(N)或 O(NlogN)，接触计算 O(Nc​)，其中 Nc​是接触对数。
总复杂度：O(Nt​(N+Nc​))。

空间复杂度​

存储粒子信息：O(N)，邻居列表：O(Nc​)。

适用类型​

颗粒系统，散体材料，岩石断裂，土壤-结构相互作用

优点​

可模拟大变形，破裂，流动，物理直观，可考虑复杂接触

缺点​

计算量大，参数多且难确定，结果统计波动，时间步长小

表示方法​

物质点携带质量、速度、应力等，背景网格用于计算空间梯度。
质量守恒：mp​=ρp​Vp​
动量守恒：mp​dtdvp​​=∇⋅σp​+bp​
能量守恒：mp​dtdep​​=σp​:Dp​+其他项

构建方法​

1. 初始化物质点（质量，位置，速度，应力等）
2. 将物质点信息映射到背景网格（质量，动量）
3. 在背景网格上求解动量方程（更新网格速度）
4. 将网格速度增量映射回物质点，更新物质点速度和位置
5. 更新物质点应力（本构模型）
6. 重置背景网格，重复

算法名称​

物质点法，广义插值物质点法（GIMP），对流粒子域插值（CPDI）

数学方程式​

质量映射：mi​=∑p​Ni​(xp​)mp​
动量映射：(mv)i​=∑p​Ni​(xp​)mp​vp​
节点力：fi​=−∑p​Vp​σp​∇Ni​(xp​)+∑p​Ni​(xp​)bp​
节点动量更新：(mv)inew​=(mv)i​+fi​Δt
物质点更新：vpnew​=vp​+∑i​Ni​(xp​)mi​fi​​Δt
xpnew​=xp​+∑i​Ni​(xp​)mi​(mv)inew​​Δt

计算公式​

形函数：通常使用线性形函数，但GIMP中采用改进的形函数以减少网格交叉误差。
时间积分：通常使用显式中心差分法或Newmark-β法。
本构模型：弹性，塑性，流体等。

应用场景​

冲击，爆炸，金属成型，流固耦合，雪，泥土，泡沫等大变形问题

依赖条件​

软件：MPM3D，MPMICE，商业化软件如LS-DYNA中的MPM模块
硬件：需要大量内存和计算资源，特别是三维问题
数据：物质点初始化，材料模型，背景网格

算法思想​

结合拉格朗日点和欧拉网格的优点，物质点携带材料信息并在网格上求解动量方程，避免网格畸变。

理论依据​

弱形式积分，插值理论，连续介质力学

算法特性​

可处理大变形，材料界面清晰，但存在网格交叉误差，计算成本高。

时间复杂度​

每个时间步：映射O(Np​)，网格求解O(Ng​)，更新O(Np​)，其中Np​是物质点数，Ng​是网格节点数。
总复杂度：O(Nt​(Np​+Ng​))。

空间复杂度​

存储物质点信息：O(Np​)，背景网格变量：O(Ng​)。

适用类型​

大变形，冲击，爆炸，流固耦合，多相流动

优点​

可处理大变形，材料界面清晰，无网格缠结，守恒性好

缺点​

网格交叉误差，计算量大，应力噪声，精度受物质点数量影响

表示方法​

积分-微分方程：ρu¨(x,t)=∫Hx​​f(u(x′,t)−u(x,t),x′−x)dVx′​+b(x,t)
其中 f是成对力函数，表示点 x′对 x的作用力，Hx​是 x的邻域（近场范围）。

构建方法​

1. 离散物体为物质点（节点）
2. 为每个节点定义邻域（半径 δ）
3. 计算节点间的相对位移和力
4. 积分运动方程更新节点位置
5. 破坏通过键的断裂来模拟

算法名称​

近场动力学，键基PD，态基PD，常规态基PD

数学方程式​

键基PD：f(η,ξ)=cs∥η+ξ∥η+ξ​，其中 ξ=x′−x，η=u(x′)−u(x)，s=∥ξ∥∥η+ξ∥−∥ξ∥​是伸长率，c是微模量常数。
破坏准则：当 s>s0​（临界伸长率）时，键断裂。
态基PD：f=T​[x,t]⟨x′−x⟩−T​[x′,t]⟨x−x′⟩，其中 T​是力矢量状态。

计算公式​

离散化：ρi​u¨i​=∑j∈Hi​​f(uj​−ui​,xj​−xi​)Vj​+bi​
时间积分：通常用显式中心差分法。
微模量常数：对于均匀各向同性材料，c=πδ418k​（三维），c=πhδ312E​（二维平面应力），c=πhδ3(1−ν)12E​（二维平面应变），其中 h是厚度。

应用场景​

裂纹扩展，动态断裂，复合材料破坏，冲击损伤，混凝土破坏

依赖条件​

软件：Peridigm，LS-DYNA中的PD模块，开源PD代码
硬件：需要大量内存和计算资源，因为每个点与多个点相互作用
数据：离散化节点，近场范围，力函数，破坏准则

算法思想​

用积分方程代替偏微分方程，避免了在裂缝尖端处的空间导数，自然模拟裂纹的萌生和扩展。

理论依据​

非局部理论，积分方程，连续介质力学

算法特性​

自然模拟裂纹，无需裂纹扩展准则，但计算成本高，边界条件处理复杂。

时间复杂度​

每个时间步：O(N2)（朴素算法），通过邻居列表可降为O(N)。
总复杂度：O(Nt​N)。

空间复杂度​

存储节点信息：O(N)，邻居列表：O(N×Nneigh​)。

适用类型​

断裂，损伤，破坏，多裂纹，复合材料

优点​

自然模拟裂纹萌生和扩展，无需裂纹扩展准则，可处理复杂裂纹网络

缺点​

计算量大，边界条件处理复杂，表面效应，材料参数标定困难

高阶连续性应用​

1. 板壳分析：要求C1连续性，IGA自然满足
2. 流体力学：高阶连续性减少数值耗散
3. 结构优化：形状优化中几何精确
4. 耦合问题：流固耦合中几何一致

T样条和LR样条​

T样条：允许局部细化，保持几何精确
LR样条：局部细化样条，更灵活的局部细化
两者都是IGA中用于局部细化的技术，克服NURBS不能局部细化的缺点。

自适应细化策略​

h-细化：插入节点
p-细化：升阶
k-细化：同时升阶和插入节点（IGA特有）
r-细化：重新参数化，节点重新分布
局部细化：T样条，LR样条，层次B样条

耦合问题​

流固耦合：IGA提供几何精确的流体-结构界面
接触问题：高阶连续接触算法
多物理场：同一几何模型用于多场分析

计算成本​

数值积分：高阶基函数需要更多积分点
矩阵带宽：高阶连续性增加矩阵带宽
预处理：需要专门预处理技术

软件实现​

GeoPDEs，IGATools，GetFEM，LS-DYNA，ABAQUS

多尺度方法分类​

1. 均匀化方法：周期性或随机均匀化
2. 变分多尺度法：解析尺度与子尺度
3. 多尺度有限元法：通过局部基函数捕捉细观特征
4. 异质多尺度法：耦合宏观和微观模型

计算均匀化​

FE²：宏观每个积分点调用微观RVE计算本构响应
在线计算：每个宏观积分点求解微观问题，计算量大
离线计算：建立数据库或代理模型

多尺度损伤​

微观损伤演化，宏观失效预测
耦合多尺度断裂力学

多尺度优化​

微观结构设计，宏观性能优化
拓扑优化与多尺度结合

机器学习辅助​

用神经网络替代微观求解器
降阶模型加速微观计算

物理信息神经网络​

PINN：将物理方程作为损失项
损失函数：L=Ldata​+λPDE​LPDE​+λBC​LBC​+λIC​LIC​
应用：方程求解，参数反演，数据同化

神经网络替代模型​

代理模型：用神经网络替代昂贵仿真
循环神经网络：替代时间推进
图神经网络：处理非结构网格，粒子系统

强化学习​

优化控制：流体控制，结构控制
优化设计：拓扑优化，形状优化
材料设计：微观结构设计

生成模型​

生成对抗网络：生成微观结构，优化材料设计
变分自编码器：降维，生成新材料设计

不确定性量化​

贝叶斯神经网络：预测不确定性
随机过程：量化模型不确定性

并行计算​

MPI：分布式内存，消息传递
OpenMP：共享内存，多线程
CUDA/OpenCL：GPU并行
混合编程：MPI+OpenMP，MPI+CUDA

大规模线性求解器​

直接法：MUMPS，SuperLU，PARDISO
迭代法：Krylov子空间方法（CG，GMRES，BiCGSTAB）
预处理：不完全LU，多重网格，域分解，稀疏近似逆

多重网格法​

几何多重网格：粗网格由细网格生成
代数多重网格：基于矩阵构造粗网格
并行多重网格：并行平滑，粗网格求解

负载平衡​

图划分：METIS，ParMETIS
动态负载平衡：根据计算量重新分配

大规模可视化​

并行可视化：ParaView，VisIt
原位可视化：仿真中实时可视化
流线化：大数据处理

FEniCS

自动化有限元求解

Python/C++

LGPL

Deal.II

有限元库，支持自适应

C++

LGPL

OpenFOAM

计算流体力学

C++

GPL

MFEM

有限元库，支持高阶

C++

BSD

MOOSE

多物理场有限元框架

C++

LGPL

CalculiX

有限元分析，类似Abaqus

Fortran/C

GPL

Code_Aster

结构力学有限元

Python/Fortran

GPL

GetFEM

通用有限元库

C++/Python

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SU2

计算流体力学与优化

C++/Python

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PETSc

科学计算求解器库

C

BSD

Trilinos

并行求解器与工具

C++

BSD

MFront

材料行为生成器

C++

GPL

Akantu

固体与结构力学

C++

LGPL

PreCICE

多物理场耦合库

C++

LGPL

DuMux

多孔介质流动与传输

C++

GPL

表示方法​

边界积分方程：c(P)u(P)=∫Γ​[G(P,Q)q(Q)−H(P,Q)u(Q)]dΓ(Q)
其中G是基本解，H=∂G/∂n，c(P)是几何系数

构建方法​

1. 将控制方程转化为边界积分方程
2. 离散边界为单元
3. 插值边界变量（位移、面力）
4. 建立线性系统Hu=Gq
5. 求解边界变量，内部点后处理

算法名称​

直接边界元法，间接边界元法，对偶边界元法，快速多极边界元法

数学方程式​

弹性静力学：cij​(P)uj​(P)=∫Γ​[Uij​(P,Q)tj​(Q)−Tij​(P,Q)uj​(Q)]dΓ(Q)
基本解(3D弹性)：Uij​=16πG(1−ν)r1​[(3−4ν)δij​+r,i​r,j​]
Tij​=−8π(1−ν)r21​[∂n∂r​((1−2ν)δij​+3r,i​r,j​)−(1−2ν)(ni​r,j​−nj​r,i​)]

计算公式​

离散化：Hij​=∫Γj​​T(P,Q)Nj​(Q)dΓ
Gij​=∫Γj​​U(P,Q)Nj​(Q)dΓ
奇异积分处理：Hii​=−∑j=i​Hij​+c(Pi​)
快速多极：Gq≈∑m=0p​m!1​DmG(xc​)Mm​，其中Mm​=∑j​qj​(yj​−yc​)m

应用场景​

无限域问题，断裂力学，声学，势流，弹性接触，腐蚀防护

依赖条件​

软件：BEAST，BEM++，FastBEM，开源BEM库
硬件：需要高效线性求解器，内存需求大
数据：边界离散，边界条件，材料参数

算法思想​

将域内微分方程转化为边界积分方程，只需离散边界，降低问题维数

理论依据​

格林函数，势理论，积分方程，基本解理论

算法特性​

仅需离散边界，自动满足无穷远条件，精度高，但矩阵满秩，非线性问题复杂

时间复杂度​

常规BEM：装配O(N2)，求解O(N3)
快速多极BEM：O(NlogN)装配，O(N)求解

空间复杂度​

存储满矩阵：O(N2)
快速多极：O(N)

适用类型​

线性问题，无限域，边界为主问题，断裂力学

优点​

仅需边界离散，自动处理无限域，精度高，后处理简单

缺点​

满阵存储求解，非线性问题复杂，多介质问题处理困难

表示方法​

移动最小二乘(MLS)近似：uh(x)=∑j=1m​pj​(x)aj​(x)=pT(x)a(x)
其中a(x)通过最小化加权误差：J=∑i=1n​wi​(x)[pT(xi​)a(x)−ui​]2

构建方法​

1. 节点布置（无网格连接）
2. 定义影响域和权函数
3. 构造形函数（MLS, RKPM, PUM等）
4. 基于伽辽金法离散控制方程
5. 数值积分（背景网格或点积分）

算法名称​

无网格伽辽金法(EFG)，再生核粒子法(RKPM)，单位分解法(PUM)，hp云法

数学方程式​

MLS形函数：ϕi​(x)=pT(x)A−1(x)Bi​(x)
其中A(x)=∑i=1n​wi​(x)p(xi​)pT(xi​)，Bi​(x)=wi​(x)p(xi​)
权函数：wi​(x)=w(∥x−xi​∥/ri​)，如样条权函数：w(s)={1−6s2+8s3−3s40​s≤1s>1​

计算公式​

离散方程：Kd=f
刚度矩阵：KIJ​=∫Ω​BIT​DBJ​dΩ
其中BI​=[ϕI,x​,ϕI,y​,ϕI,z​]T
本质边界条件施加：拉格朗日乘子法：[KG​GT0​][dλ​]=[fq​]
罚函数法：(K+αKp​)d=f+αfp​

应用场景​

大变形，裂纹扩展，冲击，金属成型，自适应分析，无网格CFD

依赖条件​

软件：EFG代码，RKPM代码，MLPG代码，商业软件中的无网格选项
硬件：形函数计算复杂，需要较多计算资源
数据：节点分布，权函数参数，积分方案

算法思想​

基于节点近似，不依赖网格连接，通过权函数定义节点影响域，构造形函数

理论依据​

移动最小二乘，再生核，单位分解，伽辽金法

算法特性​

无需网格，自适应简单，可处理大变形，但计算成本高，边界条件处理复杂

时间复杂度​

形函数计算：O(nN)，其中n为节点数，N为积分点数
矩阵装配：O(Nn2)
求解：O(N1.5)

空间复杂度​

存储节点和形函数信息：O(n)
矩阵存储：O(n2)（带状性差）

适用类型​

大变形，裂纹扩展，自适应分析，难以生成网格的问题

优点​

无需网格，自适应简单，可处理大变形，高阶连续容易

缺点​

计算成本高，本质边界条件处理复杂，数值积分困难，稳定性问题

核近似改进​

核修正：⟨f(x)⟩=∫f(x′)W(x−x′,h)dx′
粒子近似：⟨f(xi​)⟩=∑j=1N​ρj​mj​​f(xj​)Wij​
核梯度修正：∇Wijcorrected​=Li​∇Wij​，其中Li​=[∑j​ρj​mj​​(xj​−xi​)⊗∇Wij​]−1

耗散项​

人工粘度：\Pi_{ij} = \begin{cases} -\alpha \bar{c}_{ij} \phi_{ij} + \beta \phi_{ij}^2}{\bar{\rho}_{ij}} & v_{ij} \cdot r_{ij} < 0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}
其中ϕij​=∥rij​∥2+0.01h2hvij​⋅rij​​，cˉij​=(ci​+cj​)/2，ρˉ​ij​=(ρi​+ρj​)/2
人工应力：防止粒子聚集

固壁边界​

虚粒子：在边界外布置虚粒子
排斥力：f=D[(rr0​​)n1​−(rr0​​)n2​]r2r​
边界力粒子：边界上分布力粒子

湍流模型​

大涡模拟(LES)：vij​=2(cs​Δ)2∥Sij​∥，其中Sij​是应变率张量
亚粒子尺度模型：νt​=(Cs​l)2∥S∥

可压缩流​

状态方程：p=B[(ρ0​ρ​)γ−1]，其中B=γρ0​c02​​
Tait方程：p=γc02​ρ0​​[(ρ0​ρ​)γ−1]

应用扩展​

多相流：不同相用不同粒子，表面张力模型
流固耦合：SPH与FEM耦合，SPH与DEM耦合
生物力学：血液流动，软组织变形
天体物理：星系形成，行星碰撞

接触力模型​

Hertz-Mindlin模型(弹性)：
法向力：Fn​=34​E∗R∗​δn3/2​
切向力：Ft​=8G∗R∗δn​​δt​
滚动摩擦：Mr​=−μr​R∗Fn​ω
其中1/E∗=(1−νi2​)/Ei​+(1−νj2​)/Ej​，1/R∗=1/Ri​+1/Rj​

粘附力模型​

JKR模型：Fadh​=3πγR
DMT模型：Fadh​=2πγR
液桥力：Fcap​=2πRγcosθ+πR2Δp

阻尼模型​

粘性阻尼：Fdamp​=−cv
临界阻尼：c=2mk​
非线性能量耗散：$F_{damp} = -\alpha

时间积分​

Verlet算法：x(t+Δt)=2x(t)−x(t−Δt)+a(t)Δt2
速度Verlet：v(t+Δt/2)=v(t)+a(t)Δt/2
x(t+Δt)=x(t)+v(t+Δt/2)Δt
v(t+Δt)=v(t+Δt/2)+a(t+Δt)Δt/2
蛙跳法：v(t+Δt/2)=v(t−Δt/2)+a(t)Δt
x(t+Δt)=x(t)+v(t+Δt/2)Δt

邻居搜索​

网格法：将计算域划分为网格，每个粒子只与同网格及相邻网格内粒子作用
Verlet列表：rlist​=rc​+rskin​，当粒子移动距离超过rskin​/2时更新列表
树形结构：四叉树(2D)，八叉树(3D)，适合非均匀分布

并行计算​

区域分解：将计算域划分为子域，每个处理器负责一个子域
粒子分解：将粒子分配到不同处理器
动态负载平衡：根据粒子数重新分配

与CFD耦合​

CFD-DEM：流体用CFD，颗粒用DEM
耦合方式：流体对颗粒的拖曳力Fd​=21​Cd​ρf​Ap​∥uf​−up​∥(uf​−up​)
体积分数：αf​=1−∑p​Vp​/Vcell​
动量交换：Sp​=∑Finteraction​/Vcell​

广义插值物质点法(GIMP)​

改进的形函数：Sip​=Vp​1​∫Ωp​​Ni​(x)dx
梯度权重：∇Sip​=Vp​1​∫Ωp​​∇Ni​(x)dx
减少网格穿越误差，提高精度

接触算法​

背景网格检测接触：在网格上检测不同材料粒子的接触
罚函数法：Fc​=kδ+cv
拉格朗日乘子法：施加无穿透约束

本构模型​

弹性：σ=C:ϵ
塑性：J2塑性，Drucker-Prager，Mohr-Coulomb
流体：牛顿流体，非牛顿流体
土壤：临界状态模型，Cam-clay模型

多物理场耦合​

热-力耦合：ρCv​T˙=∇⋅(k∇T)+σ:ϵ˙p
孔隙流体耦合：Biot理论，两相物质点法
化学-力耦合：扩散，反应，膨胀

自适应​

粒子自适应：分裂/合并粒子
网格自适应：自适应网格细化(AMR)
时间步自适应：CFL条件，Δt≤min(Δx/c,ρΔx2/E​)

并行计算​

区域分解：背景网格分区，粒子跟随网格
粒子到网格映射的通信：相邻子域交换边界粒子信息
动态负载平衡：根据粒子分布重新分区

软件实现​

MPM3D，Uintah，Nairn-MPM，商业化软件集成

常规态基近场动力学​

运动方程：ρu¨(x,t)=∫Hx​​{T​[x,t]⟨x′−x⟩−T​[x′,t]⟨x−x′⟩}dVx′​+b(x,t)
力矢量状态：$\underline{T} = \omega(

微弹塑性模型​

线弹性：f=c(η+ξ)∥η+ξ∥η+ξ​
弹塑性：f=cs∥η+ξ∥η+ξ​，其中s依赖于历史变量
粘弹性：f=c(s+βs˙)∥η+ξ∥η+ξ​

动态断裂​

损伤变量：φ(x,t)=1−∫Hx​​dVx′​∫Hx​​μ(x,t)dVx′​​
其中μ是历史相关函数，当键断裂时为0，否则为1
断裂准则：临界伸长率s0​，或基于能量释放率G0​
自适应网格：裂纹尖端区域细化

多尺度近场动力学​

耦合局部/非局部模型：近场区域用PD，远场区域用经典连续介质力学
力混合：f=α(x)fPD​+(1−α(x))fCM​
其中α是混合函数

热传导​

非局部热传导：ρcv​T˙(x,t)=∫Hx​​κ∥x′−x∥T(x′,t)−T(x,t)​dVx′​+r(x,t)

软件实现​

Peridigm，EMU，开源PD代码，商业软件插件

表示方法​

边界积分方程：c(P)u(P)=∫Γ​[G(P,Q)q(Q)−H(P,Q)u(Q)]dΓ(Q)
边界几何和变量用NURBS表示：x(ξ)=∑i=1n​Ri​(ξ)Pi​
u(ξ)=∑i=1n​Ri​(ξ)ui​，q(ξ)=∑i=1n​Ri​(ξ)qi​

构建方法​

1. 用NURBS表示几何
2. 离散边界积分方程
3. 数值积分（正则积分，奇异积分）
4. 建立线性系统Hu=Gq
5. 求解边界变量

数学方程式​

离散方程：Hij​=∫Γ​T(Pi​,Q)Rj​(Q)dΓ(Q)
Gij​=∫Γ​U(Pi​,Q)Rj​(Q)dΓ(Q)
奇异积分处理：解析积分，子段划分，Telles变换

计算公式​

Telles变换：ξ=η+αtan(βt)，dξ=αβsec2(βt)dt
将奇异点映射到积分区间外
半解析积分：对于常数单元，Hii​=−∑j=i​Hij​

应用场景​

声学，电磁学，断裂力学，无限域问题，CAD/CAE集成

优点​

几何精确，高阶连续，减少离散误差，CAD/CAE无缝集成

缺点​

奇异积分复杂，满阵存储求解，非线性问题困难

表示方法​

局部空间：$V_h^k(K) = {v \in H^1(K) : \Delta v = 0, v

构建方法​

1. 任意多边形网格划分
2. 定义局部虚拟空间
3. 构造投影算子Π∇:Vhk​(K)→Pk​(K)
4. 基于投影构造离散格式
5. 组装全局系统

数学方程式​

双线性形式：ah​(uh​,vh​)=∑K​ahK​(uh​,vh​)
其中ahK​(uh​,vh​)=aK(Π∇uh​,Π∇vh​)+SK(uh​−Π∇uh​,vh​−Π∇vh​)
稳定项：SK(u,v)=∑i=1NK​​dofi​(u)dofi​(v)

计算公式​

投影计算：∫K​∇p⋅∇(v−Π∇v)dx=0，∀p∈Pk​(K)
∫K​(v−Π∇v)dx=0
自由度：顶点值，边积分矩，内部积分矩

应用场景​

任意多边形网格，自适应分析，断裂力学，板壳，斯托克斯流

优点​

任意多边形网格，高阶精度，稳定，可处理非凸单元

缺点​

构造复杂，计算成本较高，理论分析复杂

基本思想​

独立假设位移场和应力场，通过拉格朗日乘子引入协调条件
广义变分原理：ΠH​=∫Ω​[W(σ)−σ:ϵ(u)]dΩ+Πext​

构建方法​

1. 单元内假设应力场σ
2. 单元边界假设位移场λ（拉格朗日乘子）
3. 通过杂交变分原理建立离散方程
4. 静力凝聚消除内部自由度

数学方程式​

杂交变分原理：δΠH​=0
其中ΠH​=∑e​[∫Ωe​​W(σ)dΩ−∫∂Ωe​​λ⋅(σ⋅n)dΓ]−Πext​
离散形式：[ABT​B0​][βλ​]=[0f​]
其中β是应力参数，λ是边界位移

计算公式​

应力假设：σ=Pβ
协调条件：u=Nλ在单元边界上
静力凝聚：Ke​=BTA−1B
其中A=∫Ωe​​PTD−1PdΩ，B=∫∂Ωe​​NTPn​dΓ

应用场景​

不可压缩材料，接触问题，复合材料，板壳，锁死问题

优点​

应力精度高，避免锁死，满足单元间协调，适合复合材料

缺点​

计算成本高，构造复杂，矩阵可能奇异

基本思想​

同时独立逼近多个变量（如位移和应力，速度和压力）
鞍点问题：[AB​BT0​][up​]=[fg​]

构建方法​

1. 选择位移空间Vh​和应力空间Σh​（或速度空间Vh​和压力空间Qh​）
2. 满足LBB条件：infqh​∈Qh​​supvh​∈Vh​​∥vh​∥1​∥qh​∥0​(qh​,∇⋅vh​)​≥β>0
3. 建立离散系统并求解

数学方程式​

弹性力学混合格式：
∫Ω​σ:τdΩ+∫Ω​∇⋅τ⋅udΩ=0
∫Ω​∇⋅σ⋅vdΩ=∫Ω​f⋅vdΩ
斯托克斯问题：
∫Ω​∇u:∇vdΩ−∫Ω​p∇⋅vdΩ=∫Ω​f⋅vdΩ
−∫Ω​q∇⋅udΩ=0

有限元对​

弹性：PEERS，BDM，BDFM，Arnold-Winther
斯托克斯：Taylor-Hood(P2-P1)，MINI(P1b-P1)，Crouzeix-Raviart(P2-P1)
达西流：RT，BDM，BDFM

应用场景​

不可压缩流动，多孔介质流，弹性力学，电磁学，优化控制

优点​

同时得到高精度位移和应力，避免锁死，满足物理守恒律

缺点​

需满足LBB条件，系统规模大，求解困难，可能振荡

数值通量​

对流通量：Lax-Friedrichs：F∗=21​[F(u+)+F(u−)−λ(u+−u−)]
Roe：$F^* = \frac{1}{2}[F(u^+) + F(u^-) -

稳定项​

内罚：hα​∫Γh​​[[u]]⋅[[v]]dΓ
冲击捕捉：∫Ω​δh​∇u⋅∇vdΩ
其中$\delta_h = C h^2

时间离散​

龙格-库塔：u(0)=un
u(i)=∑k=0i−1​(αik​u(k)+Δtβik​L(u(k)))
un+1=u(s)
隐式DGM：Δtun+1−un​=L(un+1)

自适应​

误差估计：残差型ηK2​=hK2​∥R(uh​)∥L2(K)2​+hK​∥r(uh​)∥L2(∂K)2​
hp自适应：基于误差估计调整h和p

软件实现​

deal.II，FEniCS，Nektar++，OpenDG，商业软件中的DG模块

基函数​

勒让德多项式：Pn​(x)=2nn!1​dxndn​(x2−1)n
切比雪夫多项式：Tn​(x)=cos(ncos−1x)
拉格朗日插值多项式：li​(ξ)=∏j=0,j=iN​ξi​−ξj​ξ−ξj​​
节点：Gauss-Lobatto-Legendre节点：ξi​是(1−ξ2)PN′​(ξ)=0的根

数值积分​

Gauss-Lobatto求积：∫−11​f(ξ)dξ≈∑i=0N​wi​f(ξi​)
权重：wi​=N(N+1)[PN​(ξi​)]22​
微分矩阵：Dij​=lj′​(ξi​)

预处理​

对角预处理：P=diag(K)
低阶有限元预处理：在低阶网格上求解
区域分解预处理：Schwarz方法，FETI

并行计算​

区域分解：每个处理器负责一个或几个单元
通信：单元边界节点值交换
负载平衡：根据单元阶数和大小分配

应用扩展​

流体力学：不可压缩Navier-Stokes，湍流模拟
波动方程：地震波传播，声学
电磁学：麦克斯韦方程
优化：谱元伴随方法

基函数类型​

模态基：Pp​(ξ)=2pp!1​dξpdp​(ξ2−1)p
节点基：拉格朗日插值多项式在Gauss-Lobatto节点上
混合基：边界用节点基，内部用模态基

单元类型​

单纯形单元（三角形，四面体）：Dubiner基，Koornwinder基
超立方体单元（四边形，六面体）：张量积基
棱柱单元：三角形×一维张量积
金字塔单元：特殊基函数

p型自适应​

误差估计：ηK​=∥u−uh​∥H1(K)​
细化策略：基于误差分布调整单元阶数p
hp自适应：同时调整h和p

矩阵性质​

条件数：κ(K)=O(p2d)
预处理：对角线预处理，低阶有限元预处理，多重网格
静态凝聚：消除内部自由度，得到边界系统

数值积分​

完全积分：(p+1)d个积分点
降阶积分：pd个积分点，避免剪切锁死
选择性减缩积分：不同项用不同积分

软件实现​

deal.II，Nektar++，MFEM，FEniCS，GetFEM

区域分解​

重叠型：Schwarz方法，uik+1​=Solve(Ai​,fi​−∑j=i​Aij​ujk​)
非重叠型：子结构法，有限元撕裂与互联(FETI)，K=[Kbb​Kib​​Kbi​Kii​​]
静态凝聚：Kbb∗​=Kbb​−Kbi​Kii−1​Kib​

多重网格​

几何多重网格：粗网格由细网格生成
代数多重网格(AMG)：基于矩阵构造粗网格
平滑：Gauss-Seidel，Jacobi，ILU
循环：V循环，W循环，F循环

并行求解器​

直接法：MUMPS，SuperLU_Dist，PaStiX
迭代法：Krylov子空间方法（CG，GMRES，BiCGSTAB）
预处理：域分解，多重网格，稀疏近似逆

负载平衡​

图划分：METIS，ParMETIS，Jostle
几何划分：递归坐标平分，递归惯性平分
动态负载平衡：根据计算量重新分区

混合并行​

MPI+OpenMP：MPI进程间通信，OpenMP线程内并行
MPI+GPU：MPI进程间通信，GPU线程块并行
MPI+OpenMP+GPU：三层并行

通信优化​

非阻塞通信：计算与通信重叠
通信合并：小消息合并为大消息
拓扑优化：减少通信距离

性能分析​

加速比：Sp​=T1​/Tp​
效率：Ep​=Sp​/p
可扩展性：强可扩展性（固定问题规模），弱可扩展性（固定每进程问题规模）

方法分类​

非嵌入法：蒙特卡洛，拉丁超立方，重要性采样，代理模型
嵌入法：随机伽辽金，随机配点，扰动法， Neumann展开

蒙特卡洛​

简单抽样：E[u]≈N1​∑i=1N​u(ξi​)
方差：Var[u^]=Var[u]/N
收敛速度：O(1/N​)，与维度无关

拉丁超立方​

抽样策略：每个维度均匀分层，随机组合
方差：Var[u^]≤N1​Var[u]
改进：正交阵列，对称拉丁超立方

重要性采样​

抽样分布：E[u]=∫u(x)f(x)dx=∫g(x)u(x)f(x)​g(x)dx≈N1​∑i=1N​g(xi​)u(xi​)f(xi​)​
最优分布：$g^*(x) \propto

多项式混沌展开​

广义多项式混沌：u(ξ)=∑i=0∞​ui​Ψi​(ξ)
正交多项式：Hermite(高斯)，Legendre(均匀)，Laguerre(指数)，Jacobi(贝塔)
Wiener-Askey方案：随机变量类型与正交多项式对应

随机伽辽金​

投影：ui​=⟨Ψi2​⟩⟨u,Ψi​⟩​
离散系统：∑j=0P​Kij​uj​=Fi​，其中Kij​=⟨Ψi​Ψj​K⟩
稀疏网格：减少配点数，N=O(2lld−1)

随机配点​

配点法：u(k)=K−1(ξ(k))F(ξ(k))
回归法：minui​​∑k=1Q​(u(ξ(k))−∑i=0P​ui​Ψi​(ξ(k)))2
稀疏网格：Smolyak算法，Q=O(2lld−1)

灵敏度分析​

局部灵敏度：导数∂u/∂ξi​
全局灵敏度：Sobol指标$S_i = Var[E[u

可靠性分析​

失效概率：Pf​=∫g(x)<0​f(x)dx
一次可靠度法(FORM)：β=min∥u∥s.t. g(T(u))<0
二次可靠度法(SORM)：在FORM基础上考虑曲率

软件工具​

UQLab，Dakota，OpenTURNS，ChaosPy，UQ Toolkit