一、数值解法适用场景

当协作机器人满足以下任一条件时，解析逆解难以获得或不可行，需采用数值方法：

• 非球形腕（腕部三轴不交于一点）；
• 关节轴线非正交或存在复杂偏置；
• 7 轴及以上冗余结构（如 3/1/3 型）且无闭式几何约束；
• 需融合避障、关节限位、力矩优化等实时约束。

数值法优势：通用性强、易于集成约束、适合在线控制。
缺点：需迭代、依赖初值、可能收敛慢或陷入局部极小。

二、基本问题建模

给定期望末端位姿：
  T_d = [ R_d p_d ] ∈ SE(3)
    [ 0 1 ]

定义误差函数：
  e(θ) = [ e_p ] = [ p(θ) − p_d ] ∈ ℝ⁶
    [ e_o ] [ ω(R(θ), R_d) ]

其中：

• p(θ) 为前向运动学位置输出；
• ω(R(θ),Rd​) 为旋转误差

目标：求 θ 使得 e(θ)≈0 。

三、主流数值解法

1. 牛顿–拉夫逊法（Newton-Raphson）

迭代公式：θk+1​=θk​−J+(θk​)⋅e(θk​) 其中：

• (θ)∈R6×n 为机器人雅可比矩阵（n 为关节数，如 n=7）；
• J+ 为广义逆（通常用 Moore-Penrose 伪逆）。

当 n > 6（冗余机器人），使用 伪逆解：
  J⁺ = Jᵀ (J Jᵀ)⁻¹
可得最小范数关节速度解。

优点：收敛快（二阶）；
缺点：需计算 J 及其逆，对奇异位形敏感。

2. 阻尼最小二乘法（Damped Least Squares, DLS）

为克服奇异性，引入阻尼因子 λ > 0： θk+1​=θk​−JT(JJT+λ2I)−1e(θk​) 等价于求解：
  min_Δθ ‖J Δθ − e‖² + λ² ‖Δθ‖²

特点：

• λ 小 → 接近伪逆（高精度）；
• λ 大 → 解更稳定但收敛慢；
• 可自适应调整 λ（如 Levenberg-Marquardt 策略）。

协作机器人中最常用的数值逆解方法。

3. 投影梯度法（用于冗余机器人）

利用冗余自由度优化次目标（如避障、关节中位）： θk+1​=θk​+J+e(θk​)+(I−J+J)∇Φ(θk​) 其中：

• Φ(θ) 为次目标函数（如Φ=−∑(θi​−θi0​)2 ）；
• I−J+J) 为零空间投影矩阵。

此即 带自运动的逆运动学（Redundancy Resolution）。

四、算法流程（以 DLS 为例）

1. 输入：期望位姿 T_d，初始关节角 θ₀（可来自上一周期或零位）；
2. 循环（k = 0, 1, 2, …）：
   a. 计算前向运动学：p(θ_k), R(θ_k)；
   b. 计算误差：e_p = p(θ_k) − p_d，e_o = log(R_d R(θ_k)ᵀ)∨；
   c. 拼接 e = [e_p; e_o]；
   d. 计算雅可比 J(θ_k)；
   e. 计算 Δθ = −Jᵀ (J Jᵀ + λ² I)⁻¹ e；
   f. 更新：θk+1​=θk​+Δθ ；
   g. 若 ‖e‖ < ε 或 k > k_max，退出；
3. 输出：θ≈θk+1​ > 注：log(·)∨ 表示旋转向量（axis-angle）提取，可用 Rodrigues 公式实现。

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五、关键实现细节

表格

项目	说明
误差度量	位置误差用欧氏距离；姿态误差建议用 测地距离（geodesic）或四元数差
雅可比计算	可解析推导（高效）或数值微分（J_ij ≈ [f_i(θ+Δe_j)−f_i(θ)]/Δ）
初值选择	使用上一时刻解可保证连续性；也可用快速解析粗略解初始化
收敛判据	‖e‖ < 1e−4（位置 mm 级，姿态 0.1° 级）
实时性	7 轴机器人在现代 CPU 上通常 < 1 ms/次（C++ 实现）

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六、协作机器人中的增强策略

1. 关节限位处理：
   在 Δθ 中加入惩罚项，或使用 加权 DLS：
     W = diag(w₁,…,wₙ)，w_i = 1 / (1 + α(θ_i − θ_i^lim)²)
2. 避障集成：
   将障碍物距离梯度加入零空间：∇Φ = ∑ β_j ∇d_j(θ)
3. 柔顺控制耦合：
   在力控模式下，将力误差映射到关节空间修正 Δθ。

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七、总结对比

表格

方法	收敛性	奇异鲁棒性	冗余处理	适用性
牛顿法	快（二阶）	差	需额外处理	非冗余、远离奇异
DLS	中（一阶）	好	可结合零空间	协作机器人首选
梯度下降	慢	好	易集成	初值差、强约束

📌 工程推荐：
对 7 轴协作机器人，采用 自适应阻尼最小二乘法 + 零空间优化，兼顾精度、稳定性和智能行为。