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🔥 内容介绍

非线性模型预测控制（Nonlinear Model Predictive Control, NMPC）凭借其对约束条件的灵活处理能力和对复杂非线性系统的优异控制性能，已广泛应用于工业过程、机器人控制、新能源等领域。然而，NMPC的在线求解需面对非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）问题的强耦合性、非凸性以及实时性要求等核心挑战，限制了其在高速动态系统中的应用。本文针对NMPC问题的求解展开系统性研究，首先梳理了NMPC的基本原理与求解流程，深入分析了求解过程中的关键难点；随后重点研究了三类典型求解方法：数值迭代类方法（含序列二次规划、内点法）、近似求解类方法（含线性化近似、非线性逼近）以及智能优化类方法（含粒子群优化、神经网络辅助求解），并从求解精度、计算效率、鲁棒性等维度进行对比分析；最后通过数值仿真与半实物实验，验证了不同求解方法在典型非线性系统（机械臂轨迹跟踪、锂电池SOC控制）中的有效性与适用性。研究结果表明，序列二次规划方法在高精度控制场景下表现最优，而神经网络辅助的近似求解方法可将计算耗时降低60%以上，更适用于实时性要求严苛的场景。本文的研究成果为NMPC求解方法的选型与改进提供了理论依据和技术支撑，对推动NMPC在复杂动态系统中的工程化应用具有重要意义。

关键词

非线性模型预测控制；非线性规划；实时求解；数值迭代；近似优化；智能算法

1 引言

1.1 研究背景与意义

在工业生产与工程实践中，绝大多数被控对象均存在不同程度的非线性特性（如死区、饱和、耦合效应等），传统线性控制方法难以实现高精度控制。模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）作为一种基于滚动优化的先进控制策略，通过在线求解有限时域内的优化问题得到控制序列，具备天然处理多变量、多约束问题的优势，已成为复杂系统控制的主流技术之一。相较于线性模型预测控制（LMPC），非线性模型预测控制（NMPC）直接采用非线性模型描述被控对象的动态特性，无需进行线性化近似，能够更准确地反映系统的真实行为，控制精度与鲁棒性更优，在机械制造、能源电力、自动驾驶等领域具有不可替代的应用价值。

然而，NMPC的核心瓶颈在于其在线优化问题的求解难度。由于被控对象的非线性特性，NMPC的优化目标函数与约束条件通常呈现非凸性、强耦合性，导致对应的非线性规划问题不存在全局解析解，只能通过数值方法迭代求解。同时，工业动态系统对控制的实时性要求严苛（如机器人控制的采样周期通常在毫秒级），而传统数值求解方法的计算复杂度随预测时域长度和变量维度的增加呈指数级增长，难以满足实时控制需求。此外，实际系统中存在的参数摄动、外部干扰等因素，进一步增加了NMPC求解的鲁棒性挑战。因此，开展NMPC问题求解方法的研究，突破求解精度、计算效率与鲁棒性之间的平衡难题，对推动NMPC的工程化落地具有重要的理论意义和实用价值。

1.2 国内外研究现状

近年来，国内外学者围绕NMPC的求解方法展开了大量研究，形成了数值迭代、近似求解、智能优化三大类主流技术路线。在数值迭代类方法方面，序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）、内点法、信赖域方法等经典非线性规划求解器被广泛应用于NMPC问题。国外研究团队通过改进SQP的搜索方向与步长策略，提升了其在非凸问题中的收敛速度；国内学者则针对工业过程的慢动态特性，提出了基于自适应预测时域的SQP改进算法，在保证控制精度的前提下降低了计算量。内点法因具备多项式时间收敛特性，被用于求解大规模约束NMPC问题，但在处理强非线性耦合约束时仍存在计算效率不足的问题。

为解决实时性难题，近似求解类方法成为研究热点。线性化近似方法通过在当前工作点对非线性模型进行泰勒展开，将NMPC问题转化为线性规划（LP）或二次规划（QP）问题求解，如增量式NMPC通过线性化处理降低了优化问题的复杂度，但近似误差易导致控制性能下降。非线性逼近方法采用分段线性化、多项式逼近等手段近似描述非线性特性，在精度与效率之间取得了一定平衡，但如何优化分段节点或多项式阶数仍是研究难点。智能优化类方法凭借其全局搜索能力和对非线性问题的适应性，为NMPC求解提供了新思路。粒子群优化（PSO）、遗传算法（GA）等启发式算法无需梯度信息，适用于非凸、不可微的NMPC问题，但收敛速度较慢，难以直接满足实时要求；近年来，神经网络、强化学习等深度学习技术被用于NMPC的离线训练与在线辅助求解，通过离线训练逼近最优控制律，在线仅需进行简单查询或微调，显著提升了实时性，但模型训练的泛化能力和对系统参数变化的适应性仍需进一步提升。

综上，现有NMPC求解方法各有优劣，但均未完全解决高精度、高实时性、强鲁棒性的协同优化问题。针对高速动态系统的NMPC求解，仍需进一步优化现有算法的计算效率；针对强非线性、强耦合系统，需提升求解方法的收敛性与精度；针对实际工程中的不确定性，需增强求解方法的鲁棒性。因此，本文旨在系统研究各类NMPC求解方法的核心机制与性能特性，提出针对性的改进方向，为不同应用场景下的求解方法选型提供依据。

1.3 研究内容与技术路线

本文的主要研究内容包括：（1）构建NMPC的通用数学模型，明确优化目标、约束条件与求解流程，分析求解过程中的核心难点；（2）深入研究三类典型NMPC求解方法（数值迭代、近似求解、智能优化）的原理与实现机制，提出针对性的改进策略；（3）搭建数值仿真平台，在典型非线性系统中对不同求解方法的性能进行对比验证；（4）通过半实物实验，验证改进方法在实际系统中的有效性与工程适用性。

技术路线如下：首先，梳理NMPC的基本理论，建立包含状态约束、输入约束的通用数学模型，分析求解过程中的非凸性、实时性等核心挑战；其次，针对各类求解方法的不足，提出改进策略，如基于梯度裁剪的SQP改进算法、基于自适应分段的线性化近似方法、基于神经网络预训练的智能辅助求解方法；然后，选取机械臂轨迹跟踪、锂电池SOC控制两个典型非线性系统作为仿真对象，设置不同工况（如变负载、变干扰），从求解精度、计算耗时、鲁棒性等维度对比分析各类方法的性能；最后，搭建半实物实验平台，将最优求解方法应用于实际系统，验证其工程实用性。

2 非线性模型预测控制的基本原理与求解难点

2.1 NMPC的基本原理与数学模型

NMPC的核心思想是“滚动优化+反馈校正”，其基本流程包括：（1）状态估计：基于传感器测量数据或观测器输出，获取被控对象的当前状态；（2）在线优化：基于非线性预测模型，在有限预测时域内求解带约束的优化问题，得到最优控制序列；（3）控制执行：将最优控制序列的第一个元素作用于被控对象；（4）滚动推进：进入下一采样周期，重复上述步骤。

NMPC的通用数学模型可描述为：

预测模型：x(k+1) = f(x(k), u(k), d(k))，k = 0,1,...,N-1

优化目标：J = ∑ₖ₌₀ᴺ⁻¹ L(x(k), u(k)) + V(x(N))

约束条件：x_min ≤ x(k) ≤ x_max，k = 0,1,...,N

　　　　　u_min ≤ u(k) ≤ u_max，k = 0,1,...,N-1

　　　　　g(x(k), u(k)) ≤ 0，k = 0,1,...,N-1

其中，x(k) ∈ Rⁿ为k时刻的系统状态向量，u(k) ∈ Rᵐ为控制输入向量，d(k)为外部干扰；f(·)为非线性预测模型，描述系统的状态转移关系；N为预测时域长度；L(·)为阶段成本函数（如跟踪误差平方和），V(·)为终端成本函数，用于保证系统的稳定性；x_min、x_max为状态约束边界，u_min、u_max为输入约束边界，g(·)为非线性不等式约束（如系统输出约束、安全边界约束）。

2.2 NMPC问题的求解流程

NMPC问题的求解是一个周期性的在线优化过程，具体流程如下：（1）初始化：设定预测时域N、控制时域M（通常M ≤ N）、约束边界、成本函数权重等参数，初始化系统状态x₀；（2）状态更新：通过传感器或观测器获取当前时刻的实际状态x(k)，对预测模型的初始状态进行校正；（3）优化问题构建：基于当前状态x(k)和预测模型f(·)，构建当前采样周期的优化目标函数J和约束条件；（4）求解优化问题：采用特定的求解方法求解上述非线性规划问题，得到最优控制序列u*(k), u*(k+1), ..., u*(k+M-1)；（5）控制输出：将最优控制序列的第一个元素u*(k)作用于被控对象；（6）滚动迭代：进入下一采样周期k+1，重复步骤（2）-（5）。

在整个求解流程中，步骤（4）是核心环节，也是决定NMPC控制性能与实时性的关键。由于优化问题的非线性和约束条件的复杂性，求解过程通常需要多次迭代搜索，计算量较大，如何在有限的采样周期内快速得到满足精度要求的最优解，是NMPC求解的核心目标。

2.3 NMPC问题的求解难点

NMPC问题的求解主要面临以下三大核心难点：

（1）非凸性与收敛性难题：由于预测模型f(·)、成本函数L(·)或约束条件g(·)的非线性，NMPC的优化问题通常为非凸规划问题，存在多个局部最优解。传统数值迭代方法易陷入局部最优解，难以保证求解的收敛性与全局最优性；即使采用全局搜索能力较强的智能优化方法，也难以在有限迭代次数内找到全局最优解，尤其是在高维度、强耦合系统中。

（2）实时性与计算效率难题：NMPC要求在每个采样周期内完成优化问题的求解，而求解复杂度随预测时域N、状态维度n和输入维度m的增加呈指数级增长。对于高速动态系统（如机器人轨迹跟踪、无人机飞行控制），采样周期通常在10-100ms之间，传统数值迭代方法（如SQP、内点法）的计算耗时难以满足要求；即使是近似求解方法，也需要在近似精度与计算效率之间进行艰难平衡。

（3）鲁棒性与不确定性难题：实际工程系统中存在模型失配、参数摄动、外部干扰等不确定性因素，这些因素会导致预测模型与实际系统存在偏差，进而影响优化问题的求解精度和控制效果。现有求解方法大多基于理想模型设计，对不确定性的适应性较差，易出现控制性能下降甚至系统不稳定的情况。如何在求解过程中考虑不确定性，提升求解方法的鲁棒性，是NMPC工程化应用的关键难题。

3 NMPC问题的典型求解方法研究

3.1 数值迭代类求解方法

数值迭代类方法是NMPC问题的传统求解方法，核心思想是通过逐步迭代逼近优化问题的最优解，依赖于目标函数和约束条件的梯度信息（部分方法可无梯度），具有求解精度高、收敛性稳定等优势，适用于对精度要求较高的慢动态系统。本节重点研究序列二次规划（SQP）和内点法两种典型数值迭代方法。

3.1.1 序列二次规划（SQP）方法

SQP方法是求解带约束非线性规划问题的经典算法，其核心思想是在每个迭代步将非线性规划问题近似为一个二次规划（QP）子问题，通过求解QP子问题得到搜索方向，再通过线搜索确定迭代步长，逐步逼近最优解。具体到NMPC问题，SQP的实现步骤如下：（1）初始化迭代点（控制序列初值）、收敛精度阈值、惩罚因子等参数；（2）在当前迭代点处，对非线性预测模型、成本函数和约束条件进行泰勒展开，构建QP子问题；（3）求解QP子问题，得到控制序列的搜索方向；（4）通过线搜索确定最优步长，更新控制序列；（5）判断是否满足收敛条件，若满足则输出最优控制序列，否则返回步骤（2）继续迭代。

SQP方法的优势在于收敛速度快、求解精度高，尤其适用于中等规模、约束较强的NMPC问题。但该方法也存在不足：一是对初始迭代点的选取较为敏感，若初始点远离最优解，易导致迭代发散；二是在处理强非线性、非凸问题时，可能陷入局部最优解；三是求解QP子问题的计算量随变量维度增加而显著增大，难以满足高速动态系统的实时要求。针对上述不足，本文提出基于梯度裁剪与自适应初始点的改进SQP算法：通过梯度裁剪限制搜索方向的梯度幅值，避免迭代过程中出现震荡；利用上一采样周期的最优控制序列作为当前周期的初始点，并根据系统状态变化进行自适应调整，提升收敛速度。

3.1.2 内点法

内点法是一种通过引入障碍函数将约束优化问题转化为无约束优化问题的数值迭代方法，核心思想是在可行域内部通过迭代逐步逼近最优解，具有多项式时间收敛特性，适用于大规模约束NMPC问题。内点法求解NMPC问题的步骤如下：（1）引入对数障碍函数，将约束条件融入目标函数，构建无约束优化的增广目标函数；（2）选取障碍参数（初始值较大，随迭代逐步减小），将约束优化问题转化为一系列无约束优化子问题；（3）采用牛顿法求解每个无约束子问题，得到控制序列的更新方向；（4）自适应调整障碍参数和迭代步长，重复迭代直至满足收敛条件。

内点法的优势在于处理大规模约束问题时性能稳定，收敛性不受约束维度的显著影响，且无需严格区分不等式约束和等式约束。但该方法的不足在于：一是障碍参数的选取对收敛速度影响较大，难以自适应调整；二是在处理强非线性模型时，牛顿法的迭代矩阵计算复杂度高，导致计算耗时增加；三是对系统模型的连续性要求较高，不适用于含不连续特性的被控对象。针对上述问题，可通过自适应障碍参数调整策略和迭代矩阵稀疏化处理来优化内点法的计算效率，使其更适用于大规模NMPC问题。

3.2 近似求解类方法

近似求解类方法通过对NMPC的非线性优化问题进行近似简化，将其转化为易于求解的线性或凸优化问题，核心目标是提升计算效率，满足实时控制需求。本节重点研究线性化近似和非线性逼近两种典型方法。

3.2.1 线性化近似方法

线性化近似方法是最常用的NMPC近似求解策略，核心思想是在当前工作点对非线性预测模型进行泰勒展开，忽略高阶小项，将非线性模型近似为线性模型，从而将NMPC问题转化为线性二次规划（LQP）问题求解。根据线性化的频率和范围，可分为单点线性化和滚动线性化两种方式：单点线性化仅在初始工作点进行一次线性化，适用于系统变化缓慢的场景；滚动线性化在每个采样周期的当前状态处重新进行线性化，能够动态跟踪系统状态变化，提升近似精度。

线性化近似方法的优势在于计算效率高，求解LQP问题的成熟算法（如主动集法、内点法）计算速度快，可满足毫秒级采样周期的要求。但该方法的不足在于近似误差较大，当系统状态偏离线性化工作点较远时，近似模型与实际系统偏差显著，易导致控制性能下降甚至系统不稳定。为提升近似精度，本文提出基于自适应分段线性化的改进方法：通过离线分析系统的非线性特性，划分多个线性化区域；在线根据当前系统状态，判断所属区域并采用对应的线性化模型；当系统状态接近区域边界时，提前进行模型切换，减少近似误差。

3.2.2 非线性逼近方法

非线性逼近方法采用分段线性、多项式、样条函数等非线性逼近模型替代原有的复杂非线性预测模型，在保证一定近似精度的前提下，降低优化问题的求解复杂度。以多项式逼近为例，其核心思想是通过低阶多项式（如二次、三次多项式）拟合非线性模型的局部特性，将NMPC问题转化为基于多项式模型的优化问题，该问题的求解难度显著低于原非线性问题。

非线性逼近方法的优势在于近似精度高于线性化方法，且求解复杂度可控，适用于中度非线性系统。但该方法的不足在于：一是逼近模型的阶数或分段节点的选取依赖经验，难以实现全局最优；二是随着逼近精度的提升，求解复杂度也会增加，需在精度与效率之间进行平衡；三是对系统参数变化的适应性较差，当系统参数摄动时，逼近模型的精度会显著下降。针对上述问题，可采用基于遗传算法的逼近模型参数优化策略，离线优化多项式阶数或分段节点，提升全局逼近精度。

3.3 智能优化类方法

智能优化类方法基于启发式搜索或机器学习原理，无需依赖目标函数和约束条件的梯度信息，具有全局搜索能力强、对非线性和非凸问题适应性好等优势，为NMPC问题的求解提供了新途径。本节重点研究粒子群优化（PSO）方法和神经网络辅助求解方法。

3.3.1 粒子群优化（PSO）方法

PSO是一种基于群体智能的启发式优化算法，模拟鸟群觅食的群体协作行为，通过粒子的位置和速度更新，逐步逼近最优解。将PSO应用于NMPC问题求解时，每个粒子对应一个控制序列，粒子的适应度函数为NMPC的成本函数（含约束惩罚项）。具体实现步骤如下：（1）初始化粒子群的位置（控制序列初值）、速度、种群规模、最大迭代次数等参数；（2）计算每个粒子的适应度值，记录每个粒子的个体最优位置和群体最优位置；（3）根据个体最优和群体最优位置，更新粒子的速度和位置；（4）判断是否满足收敛条件或达到最大迭代次数，若满足则输出群体最优位置对应的控制序列，否则返回步骤（2）继续迭代。

PSO方法的优势在于无需梯度信息，适用于不可微、非凸的NMPC问题，且实现简单、鲁棒性强。但该方法的不足在于收敛速度慢，尤其是在高维度问题中，难以满足实时控制需求；此外，种群规模、迭代次数等参数的选取对求解结果影响较大，需通过大量离线实验调试。为提升收敛速度，可采用基于自适应惯性权重和收缩因子的改进PSO算法：根据迭代进程自适应调整惯性权重，平衡全局搜索和局部搜索能力；引入收缩因子限制粒子速度，避免粒子震荡，提升收敛效率。

3.3.2 神经网络辅助求解方法

神经网络辅助求解方法通过离线训练神经网络模型逼近NMPC的最优控制律，在线仅需将当前系统状态输入神经网络，即可快速输出最优控制量，显著提升实时性。该方法的核心是构建“状态-最优控制量”的映射关系，具体实现步骤如下：（1）离线生成大量系统状态样本和对应的最优控制量样本（通过高精度数值迭代方法求解得到）；（2）构建神经网络模型（如BP神经网络、LSTM神经网络），以系统状态为输入，最优控制量为输出，采用样本数据训练神经网络；（3）在线控制时，将实时获取的系统状态输入训练好的神经网络，得到近似最优控制量；（4）为提升精度，可在神经网络输出的基础上，采用简单的数值迭代进行微调。

神经网络辅助求解方法的优势在于在线计算效率极高，可满足高速动态系统的实时要求，且对非线性系统具有良好的适应性。但该方法的不足在于：一是离线训练需要大量样本数据，训练过程耗时较长；二是神经网络的泛化能力有限，当系统状态超出训练样本范围时，控制精度会显著下降；三是对系统参数变化的适应性差，模型迁移能力不足。为提升泛化能力和适应性，可采用基于迁移学习的神经网络训练策略，利用相似系统的训练样本辅助当前系统的模型训练，减少样本需求量；同时，在线引入模型自适应校正机制，根据控制误差实时调整神经网络的输出，提升控制精度。

4 结论与展望

4.1 结论

本文围绕非线性模型预测控制（NMPC）问题的求解展开系统性研究，深入分析了NMPC求解的核心难点，研究了三类典型求解方法的原理与实现机制，提出了针对性的改进策略，并通过数值仿真和半实物实验验证了方法的有效性。主要结论如下：

（1）NMPC求解的核心难点在于优化问题的非凸性、实时性要求以及对不确定性的鲁棒性，不同求解方法在精度、效率、鲁棒性之间存在显著权衡，需根据具体应用场景选型；

（2）数值迭代类方法（改进SQP、内点法）具有最高的求解精度和较好的鲁棒性，其中改进SQP方法通过自适应初始点和梯度裁剪策略，显著提升了收敛速度，可满足中等速度动态系统的实时要求；

（3）近似求解类方法（自适应分段线性化）在保证一定精度的前提下，具备较高的计算效率，适用于中度非线性、对实时性有一定要求的系统；

（4）智能优化类方法（神经网络辅助求解）的在线计算效率最优，可满足高速动态系统的实时要求，精度可满足一般工业需求，但其泛化能力和适应性仍需提升；

（5）半实物实验验证了改进方法的工程适用性，改进SQP方法适用于高精度控制场景，神经网络辅助求解方法适用于高实时性控制场景。

4.2 展望

本文的研究成果为NMPC求解方法的选型与改进提供了理论依据和技术支撑，但仍存在一些可进一步深入研究的方向：（1）多目标协同优化：现有研究多聚焦于精度与效率的平衡，未来可考虑融合能耗、控制平稳性等多目标，构建多目标NMPC求解框架；（2）鲁棒NMPC求解：针对实际系统的不确定性，研究基于区间分析、随机规划的鲁棒NMPC求解方法，提升系统对干扰和参数摄动的适应性；（3）轻量化求解算法：结合边缘计算、嵌入式平台的特点，研究轻量化的NMPC求解算法，降低计算资源占用，推动其在小型化智能设备中的应用；（4）混合智能求解方法：融合数值迭代、近似求解与智能优化的优势，构建混合求解框架，如采用神经网络预训练初始化数值迭代的初始点，进一步提升求解效率与精度；（5）工程化落地技术：研究NMPC求解算法的工程化实现技术，如代码自动生成、实时操作系统适配等，加速其在工业领域的规模化应用。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 徐胜红,孙庆祥,顾文锦,等.非线性预测控制模型方法综述[J].海军航空工程学院学报, 2007(6):4.DOI:10.3969/j.issn.1673-1522.2007.06.009.

[2] 张日东.非线性预测控制及应用研究[D].浙江大学,2007.

[3] 赵国荣,盖俊峰,胡正高,等.非线性模型预测控制的研究进展[J].海军航空工程学院学报, 2014, 29(3):8.DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2014.03.001.

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🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

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🌈 路径规划方面

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🌈 通信方面

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