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📌 本课程核心覆盖（长尾词埋点）：
重点攻克拉普拉斯变换、系统数学模型建立、传递函数求法、时域分析、稳态误差计算、根轨迹绘制法则、频域分析、伯德图（Bode图）画法以及奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据等必考难点。无论你是要应付期末大考，还是准备考研复试，这套高分笔记和名校期末真题解析都能帮你精准避坑！

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专题一：控制系统基本概念与数学模型

🎯 本专题核心目标

1. 理解控制系统的基本原理与结构。
2. 掌握建立系统微分方程模型的方法。
3. 熟练掌握传递函数的概念、求取及性质。
4. 掌握方框图化简和梅森增益公式求系统传递函数。

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1. 控制系统基本概念

1.1 开环与闭环控制

• 开环控制：控制量与被控量之间没有反馈联系。结构简单，但抗干扰能力差，精度依赖于前校准。
  • 特点：输入 → 控制器 → 执行机构 → 被控对象 → 输出
• 闭环控制（反馈控制）：利用偏差进行控制，系统输出量会反馈回来与输入量比较。
  • 特点：输入 → 比较器 → 控制器 → 执行机构 → 被控对象 → 输出 → (反馈环节) → 比较器
  • 核心：检测偏差，纠正偏差。具有自动修正被控量偏离的能力，抗干扰性好，但系统可能变得复杂，甚至不稳定。

1.2 控制系统的基本组成

一个典型闭环系统包括：

1. 给定元件：产生输入信号（期望值）。
2. 比较元件：将反馈信号与输入信号进行比较，产生偏差信号。
3. 校正/控制元件：根据偏差信号，按某种规律（如P， PI， PID）产生控制信号。
4. 放大元件：放大控制信号的幅值或功率。
5. 执行元件：直接驱动被控对象。
6. 被控对象：需要控制的设备或过程。
7. 测量/反馈元件：检测被控量并将其转换成与输入信号同类型的反馈信号。

1.3 控制系统分类

• 按信号传递的形式：
  • 连续系统：系统中所有信号都是时间的连续函数。
  • 离散系统：系统中至少有一处信号是离散的（如脉冲序列、数字编码）。
• 按元件特性：
  • 线性系统：满足叠加性和齐次性。可用线性微分方程描述。
  • 非线性系统：不满足叠加性和齐次性。含有非线性元件。
• 按系统参数：
  • 定常系统：系统参数不随时间变化。
  • 时变系统：系统参数随时间变化。

1.4 对控制系统的基本要求（性能指标）

可归结为三大方面：稳、准、快。

1. 稳定性（稳）：系统受到扰动后，其动态过程会衰减并最终恢复到原平衡状态或跟踪新的指令。是系统正常工作的首要条件。
2. 准确性（准）：稳态时，系统输出与期望值之间的误差（稳态误差 $e_{ss}$）要小。
3. 快速性（快）：系统的动态过程（如阶跃响应的上升时间、峰值时间、调节时间）要平稳、迅速。

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2. 控制系统的数学模型

数学模型是分析和设计控制系统的基础。主要有微分方程、传递函数、方框图、信号流图等。

2.1 微分方程

基于物理定律（牛顿定律、基尔霍夫定律等）列写。

• 步骤：
  1. 确定输入 $r(t)$ 和输出 $c(t)$。
  2. 列写原始方程组。
  3. 消去中间变量，得到仅含输入、输出及其各阶导数的方程。
  4. 标准化：输出项在左，输入项在右，导数降幂排列。

例题1：列写微分方程
已知电路系统中，输入为电压 $u_r(t)$，输出为电容电压 $u_c(t)$， $R$ 和 $C$ 为常数。请列写该系统的微分方程。
解：根据基尔霍夫电压定律，有：
$$u_r(t)=Ri(t)+u_c(t)$$
对于电容，有 $i(t)=C\frac{d{u}_c(t)}{dt}$。代入上式得：
$$u_r(t)=RC\frac{d{u}_c(t)}{dt}+u_c(t)$$
整理成标准形式：
$$RC\frac{d{u}_c(t)}{dt}+u_c(t)=u_r(t)$$

2.2 传递函数 (Transfer Function) 🚀重中之重

在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

• 定义式：
  $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$$
  其中， $C(s)=\mathcal{L}[c(t)]$， $R(s)=\mathcal{L}[r(t)]$，初始条件均为零。

• 性质：

  1. 只取决于系统本身的结构与参数，与输入、初始条件无关。
  2. 适用于线性定常连续系统。
  3. 是复变量 $s$ 的有理分式（$s=\sigma +j\omega$）。
  4. 传递函数与微分方程一一对应。将微分方程中的微分算子 $\frac{d}{dt}$ 替换为 $s$， $\frac{d^n}{d{t}^n}$ 替换为 $s^n$ 即可转换。

例题2：求传递函数
已知系统的微分方程为：
$$\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}+5\frac{dc(t)}{dt}+6c(t)=2\frac{dr(t)}{dt}+r(t)$$
求其传递函数 $G(s)$。
解：在零初始条件下，对等式两边取拉普拉斯变换：
$$\mathcal{L}[\frac{d^{2}c(t)}{d{t}^2}]=s^{2}C(s),\mathcal{L}[\frac{dc(t)}{dt}]=sC(s)$$

$$\mathcal{L}[\frac{dr(t)}{dt}]=sR(s)$$

因此有：
$$(s^2+5s+6)C(s)=(2s+1)R(s)$$
传递函数为：
$$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{2s+1}{s^2+5s+6}$$

• 典型环节的传递函数（必须牢记）：
  • 比例环节： $G(s)=K$
  • 积分环节： $G(s)=\frac{1}{s}$
  • 微分环节： $G(s)=s$
  • 惯性环节： $G(s)=\frac{K}{Ts+1}$
  • 振荡环节： $G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$
  • 延迟环节： $G(s)=e^{-\tau s}$

2.3 方框图及其化简

方框图直观地表示了系统中各环节的函数功能和信号流向。

• 基本元素：信号线、方框（环节）、比较点（求和点）、引出点。

• 基本连接方式：串联、并联、反馈。

• 等效变换法则（化简关键）：

  1. 串联： $G(s)=G_1(s)G_2(s)$

  2. 并联： $G(s)=G_1(s)\pm G_2(s)$

  3. 反馈连接（负反馈）：
     $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1\mp G(s)H(s)}$$
     其中 $G(s)$ 为前向通道传递函数， $H(s)$ 为反馈通道传递函数。“-”对应负反馈，“+”对应正反馈。

  4. 比较点前移/后移，引出点前移/后移（需熟记等效变换公式，考试常考）。

化简目标：将复杂的多回路方框图，通过等效变换，化为一个等效的方框，即系统的总传递函数。

例题3：方框图化简求传递函数
已知系统方框图如下（文字描述）：
前向通道第一个环节 $G_1(s)$ 的输出，同时进入并联的 $G_2(s)$ 和 $H_1(s)$， $G_2(s)$ 的输出与从 $G_1(s)$ 引出的信号在比较点A相加后，再经过 $G_3(s)$ 得到输出 $C(s)$。 $C(s)$ 经过反馈环节 $H_2(s)$ 后，在比较点B与输入 $R(s)$ 相减。
请通过方框图化简，求系统闭环传递函数 $\Phi (s)=C(s)/R(s)$。
解题思路：

1. 先处理内环。观察 $G_2(s)$ 和 $H_1(s)$ 构成的局部反馈。

2. 根据反馈公式化简这个局部回路，得到一个等效环节 $G_{内}(s)=\frac{G_2(s)}{1+G_2(s)H_1(s)}$。

3. 此时 $G_1(s)$ 与 $G_{内}(s)$ 串联，再与 $G_3(s)$ 串联构成主前向通道 $G(s)=G_1(s)\cdot G_{内}(s)\cdot G_3(s)$。

4. 整个系统是一个以 $G(s)$ 为前向通道， $H_2(s)$ 为反馈通道的负反馈系统。

5. 应用反馈公式得到总传递函数：
   $$\Phi (s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H_2(s)}=\frac{G_1(s)G_2(s)G_3(s)}{1+G_2(s)H_1(s)+G_1(s)G_2(s)G_3(s)H_2(s)}$$
   (具体化简步骤需根据实际给出的传递函数表达式进行)

2.4 信号流图与梅森增益公式

对于复杂系统，使用梅森增益公式直接求总传递函数更为简便。

• 相关术语：源节点、阱节点、前向通道、回路、不接触回路。

• 梅森增益公式：
  $$G=\frac{1}{\Delta }\sum _{k=1}^n{P}_k{\Delta }_k$$
  其中：

  • $G$：从源节点到阱节点的总增益（传递函数）。

  • $P_k$：第 $k$ 条前向通道的增益。

  • $\Delta$：特征式。
    $$\Delta =1-\sum L_a+\sum L_b{L}_c-\sum L_d{L}_e{L}_f+...$$
    $\sum L_a$：所有单独回路的增益之和。
    $\sum L_b{L}_c$：所有两两互不接触回路的增益乘积之和。
    $\sum L_d{L}_e{L}_f$：所有三个互不接触回路的增益乘积之和。

  • ${\Delta }_k$：在 $\Delta$ 中，去掉与第 $k$ 条前向通道 $P_k$ 相接触的所有回路后的余子式。

例题4：应用梅森公式求传递函数
已知某系统的信号流图有如下特征：

• 前向通道1： $P_1=G_1{G}_2{G}_3$，与所有回路都接触。
• 前向通道2： $P_2=G_4{G}_3$，与回路 $L_1$ 不接触。
• 单独回路有三个：
  $L_1=-G_1{H}_1$， $L_2=-G_3{H}_2$， $L_3=-G_1{G}_2{G}_3{H}_3$。
• 其中，回路 $L_1$ 和 $L_2$ 互不接触。
  求系统传递函数 $C(s)/R(s)$。
  解：

1. 求特征式 $\Delta$：
   所有单独回路之和： $\sum L_a=L_1+L_2+L_3=-G_1{H}_1-G_3{H}_2-G_1{G}_2{G}_3{H}_3$
   两两不接触回路乘积之和： $\sum L_b{L}_c=L_1\cdot L_2=(-G_1{H}_1)\cdot (-G_3{H}_2)=G_1{G}_3{H}_1{H}_2$
   无三个及以上的不接触回路。
   因此：
   $$\Delta =1-(L_1+L_2+L_3)+(L_1{L}_2)=1+G_1{H}_1+G_3{H}_2+G_1{G}_2{G}_3{H}_3+G_1{G}_3{H}_1{H}_2$$

2. 求各前向通道对应的余子式 ${\Delta }_k$：

   • 对于 $P_1$，它与所有回路 $L_1,L_2,L_3$ 都接触，故 ${\Delta }_1=1$。
   • 对于 $P_2$，它与 $L_2,L_3$ 接触，但与 $L_1$ 不接触。因此，在 $\Delta$ 中去掉与 $P_2$ 接触的回路，即去掉包含 $L_2$ 和 $L_3$ 的项。注意 $\Delta$ 中 $L_1{L}_2$ 项包含了 $L_2$，也应去掉。最后只剩下与 $L_1$ 相关的部分。实际上， ${\Delta }_2=1-(L_1)=1+G_1{H}_1$。
     (更严谨的方法：从 $\Delta$ 的表达式中，删去所有包含与 $P_2$ 接触的回路 $L_2,L_3$ 的项。)

3. 代入梅森公式：
   $$G=\frac{1}{\Delta }(P_1{\Delta }_1+P_2{\Delta }_2)=\frac{G_1{G}_2{G}_3\cdot 1+G_4{G}_3\cdot (1+G_1{H}_1)}{1+G_1{H}_1+G_3{H}_2+G_1{G}_2{G}_3{H}_3+G_1{G}_3{H}_1{H}_2}$$

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📝 本专题要点速记卡

概念	要点	公式/关键点
闭环控制	基于偏差，消除偏差；抗干扰，可能不稳定	反馈结构
传递函数	零初始条件，拉氏变换比；系统固有属性	$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}$
典型环节	比例、积分、惯性、振荡…	必须熟记其标准形式
方框图化简	串联乘、并联加、反馈公式；移动比较/引出点	负反馈： $\frac{G}{1+GH}$
梅森公式	求复杂系统传递函数的利器	$G=\frac{1}{\Delta }\sum P_k{\Delta }_k$， $\Delta =1-\sum L_a+\sum L_b{L}_c-...$

专题二：时域分析与稳定性判据

📚 专题概述

本专题研究系统在时域（时间t）内的动态性能和稳定性，是评价和设计控制系统的直接依据。核心是根据系统的数学模型（微分方程/传递函数）分析其输出随时间变化的特性，并判断系统是否稳定。这是考试的重中之重！

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🎯 第一部分：时域性能指标与典型响应

1.1 典型输入信号

用于测试系统性能的标准信号，最常用：

• 阶跃信号 $r(t)=A\cdot 1(t)$ ：最常用，考验系统跟踪突加指令的能力。
• 斜坡信号 $r(t)=A\cdot t$
• 加速度信号 $r(t)=\frac{A}{2}{t}^2$
• 脉冲信号 $r(t)=\delta (t)$

1.2 时域性能指标（针对单位阶跃响应）

以典型的欠阻尼二阶系统阶跃响应曲线（脑中想象）为参考，定义：

• 上升时间 $t_r$：响应从**终值的10%上升到90%**所需时间。（或0%~100%）

• 峰值时间 $t_p$：响应达到第一个峰值所需时间。

• 超调量 $\sigma \%$：衡量振荡程度。
  $$\sigma \%=\frac{c(t_p)-c(\infty )}{c(\infty )}\times 100\%$$
  关键公式（二阶系统）：$\sigma \%=e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%$，仅与阻尼比 $\zeta$ 有关。

• 调节时间 $t_s$：响应进入并保持在终值±Δ%（通常Δ=2%或5%）误差带内所需的最短时间。衡量快速性。
  近似公式（二阶系统，Δ=2%）：$t_s\approx \frac{4}{\zeta {\omega }_n}$； （Δ=5%）：$t_s\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}$。

  • $\zeta$：阻尼比； ${\omega }_n$：无阻尼自然振荡频率。

• 稳态误差 $e_{ss}$：$t\to \infty$ 时，期望输出与实际输出的差。在第二部分单独详述。

🔔 核心思想：性能指标**“快、稳、准”**—— $t_s$（快）、$\sigma \%$（稳）、$e_{ss}$（准）。

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📈 第二部分：一阶与二阶系统时域分析

2.1 一阶系统

标准形式传递函数：$\Phi (s)=\frac{K}{Ts+1}$， 通常 $K=1$，即 $\Phi (s)=\frac{1}{Ts+1}$。

• 单位阶跃响应：$c(t)=1-e^{-t/T},t\ge 0$
• 特点：无超调，无振荡。
• 关键参数：时间常数 $T$。
  • $t=0$ 时，初始斜率 = $1/T$。
  • $t=T$ 时，$c(T)=0.632$； $t=3T$时，$c(3T)=0.95$； $t=4T$时，$c(4T)=0.982$。
  • 调节时间：$t_s(2\%)=4T$； $t_s(5\%)=3T$。$T$越小，系统响应越快。

2.2 二阶系统（⭐核心重点⭐）

标准形式传递函数：
$$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$

• 特征方程：$s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$
• 特征根（闭环极点）：$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$
• 根据阻尼比 $\zeta$ 分类：

$\zeta$ 范围	系统类型	极点位置	单位阶跃响应特点
$\zeta =0$	无阻尼	共轭虚根 $\pm j{\omega }_n$	等幅正弦振荡
$0<\zeta <1$	欠阻尼	实部为负的共轭复根	衰减振荡（最常见）
$\zeta =1$	临界阻尼	相等负实根 $-{\omega }_n$	最快无超调响应
$\zeta >1$	过阻尼	两个不等负实根	缓慢，无超调
$\zeta <0$	不稳定	极点有正实部	发散

💎 欠阻尼二阶系统（$0<\zeta <1$）性能指标公式（必须牢记！）

• 峰值时间：$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$，其中 ${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$（阻尼振荡频率）

• 超调量：$\sigma \%=e^{-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%$

• 调节时间（近似）：
  $$t_s(2\%)\approx \frac{4}{\zeta {\omega }_n}{t}_s(5\%)\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}$$

• 上升时间：$t_r\approx \frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$， $\beta =\arctan (\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta })$

📝 核心结论：

1. $\zeta$ 决定振荡程度（超调量）。
2. ${\omega }_n$ 决定振荡快慢（$t_p,t_r$ 与 ${\omega }_d$ 反比，${\omega }_d$ 与 ${\omega }_n$ 正比）。
3. $t_s$ 与 $\zeta {\omega }_n$（极点的实部绝对值）成反比。极点离虚轴越远，$t_s$ 越小，响应越快。

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⚖️ 第三部分：稳定性判据（⭐绝对重点⭐）

3.1 稳定性的基本概念

• 定义：线性定常系统，若初始扰动引起的响应随时间增长逐渐衰减并趋于零，则系统渐近稳定。工程上通常指渐近稳定。
• 充要条件（线性系统）：闭环系统特征方程的所有根（闭环极点）均具有负实部（即全部位于s平面左半部分）。
• 判断方法：不解特征根，直接根据特征方程系数判断根的位置。主要工具是劳斯判据。

3.2 劳斯判据 (Routh-Hurwitz Criterion)

用于判断特征方程 $a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_{1}s+a_0=0$ 的根中具有正实部根的个数。
第一步：系统稳定的必要条件（非充分！）
特征方程所有系数 $a_i>0$（或同号，且不缺项）。若不满足，则系统不稳定。
第二步：列写劳斯表
劳斯表前两行由特征方程系数构成：
$$\begin{array}{ccccc}{s}^n& a_n& a_{n-2}& a_{n-4}& \cdots \\ s^{n-1}& a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& \cdots \\ s^{n-2}& b_1& b_2& b_3& \cdots \\ s^{n-3}& c_1& c_2& c_3& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ s^0& & & & \end{array}$$
其中，
$$b_1=\frac{-\left|\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n-2}\\ a_{n-1}& a_{n-3}\end{array}\right|}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}{a}_{n-2}-a_n{a}_{n-3}}{a_{n-1}}$$

$$b_2=\frac{-\left|\begin{array}{cc}{a}_n& a_{n-4}\\ a_{n-1}& a_{n-5}\end{array}\right|}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}{a}_{n-4}-a_n{a}_{n-5}}{a_{n-1}}$$

…
$c_1,c_2$ 等由前两行类似计算。
第三步：劳斯判据结论

• 系统稳定的充要条件：劳斯表第一列所有元素均大于零。
• 第一列元素符号改变的次数 = 特征方程中具有正实部根的个数。

3.3 劳斯判据的特殊情况（⚠️ 考试难点！）

1. 劳斯表某一行第一个元素为零，其余元素不全为零。
   • 处理方法：用一个很小的正数 $ϵ$ 代替零，继续计算劳斯表。
   • 分析：计算完成后，令 $ϵ\to 0^{+}$，考察第一列符号变化。
2. 劳斯表某一行全为零。
   • 原因：特征方程存在关于原点对称的根（如大小相等符号相反的实根，共轭虚根等）。
   • 处理方法：
     a. 用全零行的上一行系数构造一个辅助方程 $A(s)=0$。
     b. 对辅助方程关于 $s$ 求导，用所得导数方程的系数代替全零行。
     c. 继续计算劳斯表。
   • 分析：辅助方程的根就是原特征方程的一部分根。这些根的实部可由辅助方程解出。劳斯表继续完成后，用于判断其余根的分布。

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🎯 第四部分：稳态误差分析

4.1 误差与稳态误差定义

• 误差 $e(t)=r(t)-c(t)$（按输出定义），或 $e(t)=r(t)-b(t)$（按输入定义，常用）。
• 稳态误差：$e_{ss}={\lim }_{t\to \infty }e(t)={\lim }_{s\to 0}s\cdot E(s)$（利用终值定理！⚠️ 使用前提：$sE(s)$ 的极点均在s左半平面，即系统稳定且能使用终值定理）。
• 对于典型单位反馈系统：$E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}$， 故 $e_{ss}={\lim }_{s\to 0}s\cdot \frac{R(s)}{1+G(s)}$。

4.2 系统型别与静态误差系数

开环传递函数写成时间常数形式：$G(s)=\frac{K\prod ({\tau }_{i}s+1)}{s^{\nu }\prod (T_{j}s+1)}$。

• $\nu$：系统的型别（积分环节个数）。$\nu =0,I,II,...$ 型系统。
• 静态误差系数（用于快速计算典型输入下的稳态误差）：

	静态位置误差系数 $K_p$	静态速度误差系数 $K_v$	静态加速度误差系数 $K_a$
定义	${\lim }_{s\to 0}G(s)$	${\lim }_{s\to 0}sG(s)$	${\lim }_{s\to 0}{s}^{2}G(s)$
$\nu =0$型	$K$	$0$	$0$
$\nu =I$型	$\infty$	$K$	$0$
$\nu =II$型	$\infty$	$\infty$	$K$

4.3 典型输入下的稳态误差（⭐表格必须背熟⭐）

假设系统稳定，单位反馈下：

输入信号 $r(t)$	稳态误差 $e_{ss}$	0型系统	I型系统	II型系统
阶跃 $A\cdot 1(t)$	$\frac{A}{1+K_p}$	$\frac{A}{1+K}$	0	0
斜坡 $A\cdot t$	$\frac{A}{K_v}$	$\infty$	$\frac{A}{K}$	0
加速度 $\frac{A}{2}{t}^2$	$\frac{A}{K_a}$	$\infty$	$\infty$	$\frac{A}{K}$

📌 关键规律：

• 要无静差 ($e_{ss}=0$) 地跟踪某类输入信号，系统开环传递函数中必须含有足够多的积分环节（型别 $\nu$ 至少等于输入信号的阶次）。
• 增加开环增益 $K$ 可以减小（但不能消除）有静差系统的稳态误差。

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🔍 重点与难点剖析

1. 二阶系统公式应用：给出 $\zeta ,{\omega }_n$， 要能快速计算出 $\sigma \%,t_p,t_s$。反之，给出响应曲线或指标，也要能反推 $\zeta ,{\omega }_n$。
2. 稳定性与劳斯判据：
   • 先检查必要条件（系数全正），不满足直接下不稳定结论。
   • 列劳斯表要仔细，计算容易出错。
   • 两种特殊情况的处理是高频考点，必须掌握步骤。
   • 劳斯判据只能判断是否有右半平面根，不能给出具体极点值（除了辅助方程的根）。
3. 稳态误差计算：
   • 第一步永远是先判断系统稳定性！不稳定则谈稳态误差无意义（终值定理不适用）。
   • 分清系统型别 ($\nu$) 和开环增益 ($K$)，对照表格直接写答案是最快方法。
   • 对于非单位反馈或扰动作用下的稳态误差，需先求出对应的误差传递函数，再用终值定理 $e_{ss}={\lim }_{s\to 0}sE(s)$ 计算。

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📝 典型例题

例题1（填空题）：某单位负反馈系统的开环传递函数为 $G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)}$， 则该系统是____型系统，开环增益为____。在单位阶跃输入下，其稳态误差 $e_{ss}=$ ____；在单位斜坡输入下，其稳态误差 $e_{ss}=$ ____。

例题2（计算题）：已知单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线显示，其超调量 $\sigma \%=16.3\%$， 峰值时间 $t_p=0.5\pi$ 秒。试求该系统的传递函数 $\Phi (s)$。

例题3（劳斯判据题）：已知系统的特征方程为 $s^5+2s^4+2s^3+4s^2+s+1=0$。试用劳斯判据判断系统的稳定性，并指出正实部根的个数。

例题4（综合题）：某单位负反馈系统的开环传递函数为 $G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+3)}$。
(1) 求使系统稳定的 $K$ 值范围。
(2) 若要求系统的稳态速度误差系数 $K_v\ge 0.5$， 试确定 $K$ 的取值范围。
(3) 综合 (1)(2)，确定同时满足稳定性和稳态误差要求的 $K$ 值范围。

例题5（简答题）：调节时间 $t_s$ 的近似公式 $t_s\approx \frac{4}{\zeta {\omega }_n}$ (Δ=2%) 是如何推导出来的？它的物理意义是什么？

专题三：频域分析与频率响应

🎯 专题核心目标

在6小时内，掌握频域分析的基本概念、核心方法（Bode图、Nyquist图）以及应用它们进行系统稳定性判据和性能分析的能力。频域法是工程中极其重要的分析和设计工具。

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一、 基本概念与基础知识

1.1 频率特性

• 定义：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应特性。
• 如何求取：将系统传递函数$G(s)$中的$s$替换为$j\omega$，即得频率特性$G(j\omega )$。
• 表示形式：
  • 幅频特性：输出与输入振幅比随频率$\omega$的变化关系。 $A(\omega )=|G(j\omega )|$
  • 相频特性：输出与输入相位差随频率$\omega$的变化关系。 $\varphi (\omega )=\angle G(j\omega )$

1.2 频率特性的图示方法（重点！）

主要有两种图形，用于分析和设计系统。

图形名称	横坐标	纵坐标	特点与用途
Nyquist图 (极坐标图)	实部 $Re[G(j\omega )]$	虚部 $Im[G(j\omega )]$	一幅图综合表示幅值与相位，用于稳定性判据。
Bode图 (对数坐标图)	频率 $\omega$ (对数刻度)	幅值 $L(\omega )=20\lg A(\omega )$ (dB) 相位 $\varphi (\omega )$ (°)	两幅图（幅频、相频），作图方便，分析性能直观。

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二、 典型环节的频率特性（Bode图基础）🎯

任何复杂系统的Bode图都可视为典型环节Bode图的叠加。必须记住以下关键特征：

2.1 比例环节 $K$

• 幅频：水平直线 $L(\omega )=20\lg K$ dB
• 相频：$\varphi (\omega )=0°$

2.2 积分环节 $\frac{1}{s}$ 与微分环节 $s$

• 积分$\frac{1}{s}$：
  • 幅频：斜率为**-20dB/dec**的直线，穿过点$(1,0dB)$。
  • 相频：恒为 -90°。
• 微分$s$：
  • 幅频：斜率为**+20dB/dec**的直线，穿过点$(1,0dB)$。
  • 相频：恒为 +90°。

2.3 惯性环节 $\frac{1}{Ts+1}$

• 转折频率：${\omega }_T=\frac{1}{T}$
• 幅频：
  • 当 $\omega <{\omega }_T$：近似为0dB水平线。
  • 当 $\omega >{\omega }_T$：近似为斜率为**-20dB/dec**的直线。
  • 在${\omega }_T$处，实际值为$-3dB$。
• 相频：
  • 从$0°$开始，在${\omega }_T$处为$-45°$，最终趋于$-90°$。

2.4 振荡环节 $\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

• 自然频率：${\omega }_n$
• 幅频：
  • 低频段：0dB水平线。
  • 高频段：斜率为**-40dB/dec**的直线。
  • 在${\omega }_n$附近会出现谐振峰值（当$0<\zeta <\sqrt{2}/2$时），峰值$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$，对应谐振频率${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}$。
• 相频：
  • 从$0°$开始，在${\omega }_n$处为$-90°$，最终趋于$-180°$。

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三、 Nyquist稳定判据（重中之重！）🔥

3.1 原理与公式

用于判断闭环系统的稳定性，依据是开环频率特性$G_k(j\omega )$的Nyquist图。

• 开环传递函数：$G_k(s)=G(s)H(s)$
• 公式核心：$N=P-Z$
  • $P$：开环传递函数$G_k(s)$在右半s平面的极点数。 (已知)
  • $N$：当$\omega$从$0\to +\infty$变化时，开环Nyquist曲线$G_k(j\omega )$逆时针包围点$(-1,j0)$的圈数。 (从图上数)
    • 逆时针包围记为正。
    • 顺时针包围记为负。
  • $Z$：闭环系统在右半s平面的极点数。 (未知，待求)
• 稳定性充要条件：闭环系统稳定的充要条件是$Z=0$，即 $N=P$。

3.2 应用步骤（针对最小相位系统 $P=0$ 的简化情况）

这是期末考试最高频考点！

1. 确认开环系统稳定，即开环极点均在左半平面，$P=0$。
2. 绘制或分析开环Nyquist图$G_k(j\omega )$ ($\omega :0\to +\infty$)的大致走向。
3. 判断：看图是否包围点$(-1,j0)$。
   • 若不包围 ($N=0$)，则 $Z=P-N=0$，闭环稳定。
   • 若包围 ($N\ne 0$)，则 $Z\ne 0$，闭环不稳定。
   • 若恰好穿过$(-1,j0)$，则系统临界稳定（属于不稳定）。

⚠️ 易错点：需要画出完整的$\omega :0\to +\infty$的曲线。对于$G_k(j\omega )$在$\omega =0$时趋于无穷大的情况（如含积分环节），需要从正实轴无穷远处，以无穷大半径顺时针补画$\frac{v\times 90°}{}$的圆弧 ($v$为积分环节个数)，再连接$\omega =0^{+}$的点，形成封闭曲线。

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四、 稳定裕度：衡量系统的“稳定程度” 💡

即使系统稳定，也需要知道它离不稳定（临界点$(-1,j0)$）有多“远”。距离越远，稳定性越好。

4.1 相角裕度 $\gamma$

• 定义：在幅值穿越频率${\omega }_c$ (也称剪切频率，满足 $|G_k(j{\omega }_c)|=1$ 或 $L({\omega }_c)=0dB$) 处，使系统达到临界稳定所需要附加的滞后相角。
• 计算公式：$\gamma =180°+\varphi ({\omega }_c)$，其中 $\varphi ({\omega }_c)=\angle G_k(j{\omega }_c)$。
• 物理意义：在Bode图的幅频特性穿越0dB线的频率点上，相频特性曲线距离-180°线的高度差。
• 要求：通常$\gamma >0$，且越大越好（一般要求$\gamma >30°\sim 60°$）。

4.2 幅值裕度 $h$ (或$K_g$)

• 定义：在相位穿越频率${\omega }_g$ (满足 $\angle G_k(j{\omega }_g)=-180°$) 处，开环幅频特性$|G_k(j{\omega }_g)|$的倒数。
• 计算公式：$h=\frac{1}{|G_k(j{\omega }_g)|}$ 或 $h(dB)=20\lg h=-20\lg |G_k(j{\omega }_g)|$。
• 物理意义：在Bode图的相频特性穿越-180°线的频率点上，幅频特性曲线距离0dB线的高度差（向下）。
• 要求：通常$h>1$ 或 $h(dB)>0$，且越大越好。

⚠️ 判断系统稳定性（工程上）：对于最小相位系统，系统稳定的充要条件是相角裕度$\gamma >0$且幅值裕度$h>1$。

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五、 例题精选

例题1（填空题）

已知单位负反馈系统的开环传递函数为 $G_k(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)}$，则其**幅值穿越频率${\omega }_c$**约为 ______ rad/s，**相角裕度$\gamma$**约为 ______ °。（提示：可利用近似计算，惯性环节在转折频率${\omega }_T=10$处相角约为-45°）

解析：

1. 绘制Bode图思路：系统由比例$K=10$($20dB$)、积分$\frac{1}{s}$(-20dB/dec)、惯性$\frac{1}{0.1s+1}$(${\omega }_T=10$)环节组成。
2. 幅频曲线低频段：在$\omega =1$处，$L(1)=20\lg 10=20dB$，斜率为-20dB/dec。
3. 求${\omega }_c$：设${\omega }_c<10$，则惯性环节未起作用。由$20\lg 10-20\lg ({\omega }_c/1)=0$，得${\omega }_c=10$。这与假设矛盾。设${\omega }_c>10$，则在$\omega >10$后斜率变为-40dB/dec。计算从$\omega =10$到${\omega }_c$的幅值下降：在$\omega =10$处，$L(10)=20-20\lg (10/1)=0dB$。此后按-40dB/dec下降，为使幅值为0，需要${\omega }_c=10$。因此${\omega }_c=10$。
4. 求$\gamma$：$\varphi ({\omega }_c)=-90°(积分)-\arctan (0.1\times 10)=-90°-45°=-135°$。 $\gamma =180°+(-135°)=45°$。

答案：${\omega }_c=10$， $\gamma =45$。

例题2（选择题）

已知单位负反馈系统的开环幅相特性曲线（Nyquist图）关于实轴对称。当$\omega$从$0^{+}$变化到$+\infty$时，曲线从第三象限穿过负实轴到第二象限，且与负实轴的交点为$(-0.5,j0)$。若开环系统稳定（$P=0$），则闭环系统（ ）。
A. 稳定
B. 不稳定
C. 临界稳定
D. 无法判断

解析：

• 开环稳定，故$P=0$。
• 曲线从第三象限出发（$\omega =0^{+}$），说明含积分环节或在高频段相位更负。关键看它是否包围点$(-1,j0)$。
• 已知曲线与负实轴交于$(-0.5,j0)$，该点位于$(-1,j0)$的右侧。对于完整的Nyquist路径（需补画无穷大半径圆弧从$\omega =0^{-}$到$0^{+}$），由于开环频率特性曲线本身没有包围点$(-1,j0)$，因此$N=0$。
• 根据判据，$Z=P-N=0$，闭环系统稳定。

答案：A

例题3（计算题）

已知单位负反馈系统的开环传递函数为 $G_k(s)=\frac{K}{s(s+1)(0.5s+1)}$。试用Nyquist判据确定使闭环系统稳定时，开环增益$K$的取值范围。

解析：

1. 确定开环极点：$s=0,-1,-2$，均在左半平面，故$P=0$。闭环稳定需$N=0$，即Nyquist曲线不包围点$(-1,j0)$。
2. 分析Nyquist曲线走向：令$s=j\omega$，代入$G_k(s)$。

$$G_k(j\omega )=\frac{K}{j\omega (j\omega +1)(0.5j\omega +1)}=\frac{K}{-{\omega }^2(1.5)+j[\omega -0.5{\omega }^3]}$$

3. 求曲线与负实轴的交点：令虚部为0，即 $\omega -0.5{\omega }^3=0$，解得 ${\omega }_g=\sqrt{2}$ ($\omega =0$舍去)。代入实部：

$$Re[G_k(j{\omega }_g)]=\frac{K}{-(\sqrt{2}{)}^2\times 1.5}=\frac{K}{-3}$$

因此，曲线与负实轴交于点$(-\frac{K}{3},j0)$。

4. 稳定性条件：为使曲线不包围$(-1,j0)$，交点必须在$(-1,j0)$的右侧，即：

$$-\frac{K}{3}>-1\Rightarrow \frac{K}{3}<1\Rightarrow K<3$$

同时，$K>0$（通常假设为正增益）。

答案：使闭环系统稳定的开环增益范围为 $0<K<3$。

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《机械控制工程》期末速成！自动控制原理6小时零基础高分通关