多指标评价的6种高级方案合集

在数学建模中，多指标评价需兼顾客观性、鲁棒性和可解释性。以下是6种进阶方案，涵盖权重确定、数据分析和决策排序全流程。

1. 熵权法（Entropy Weight Method）

原理：基于信息熵理论，指标变异程度越大，权重越高。
步骤：

1. 标准化决策矩阵：$r_{ij} = \frac{x_{ij} - \min x_j}{\max x_j - \min x_j}$
2. 计算信息熵：$e_j = -k \sum_{i=1}^{m} f_{ij} \ln f_{ij}$
   其中 $f_{ij} = r_{ij} / \sum_{i=1}^{m} r_{ij}$，$k = 1 / \ln m$
3. 确定权重：$w_j = \frac{1 - e_j}{\sum_{j=1}^{n} (1 - e_j)}$
   适用场景：客观赋权，避免人为干扰。

2. CRITIC法（Criteria Importance Through Intercriteria Correlation）

原理：同时考虑指标对比强度（标准差）和冲突性（相关系数）。
权重公式：
$$w_j = \frac{\sigma_j \sum_{k=1}^{n} (1 - |\rho_{jk}|)}{\sum_{j=1}^{n} \left[ \sigma_j \sum_{k=1}^{n} (1 - |\rho_{jk}|) \right]}$$

• $\sigma_j$：指标$j$的标准差
• $\rho_{jk}$：指标$j$与$k$的相关系数
  优势：综合数据离散性与指标间相关性。

3. VIKOR法（多准则妥协解排序）

核心：寻找距离理想解最近且群体效用最大的方案。
计算步骤：

1. 确定正负理想解：$f_j^+ = \max_i r_{ij}$, $f_j^- = \min_i r_{ij}$
2. 计算效用值：
   $$S_i = \sum_{j=1}^{n} w_j \frac{f_j^+ - r_{ij}}{f_j^+ - f_j^-}, \quad R_i = \max_j \left[ w_j \frac{f_j^+ - r_{ij}}{f_j^+ - f_j^-} \right]$$
3. 折中排序：$Q_i = \nu \frac{S_i - S^+}{S^- - S^+} + (1-\nu) \frac{R_i - R^+}{R^- - R^+}$
   （$\nu$为决策系数，通常取0.5）
   特点：适用于存在冲突目标的决策。

4. 灰色关联分析（Grey Relational Analysis）

原理：通过关联系数量化方案与理想序列的相似性。
关键公式：
$$\gamma(x_0(k), x_i(k)) = \frac{\min_i \min_k |\Delta_i(k)| + \rho \max_i \max_k |\Delta_i(k)|}{|\Delta_i(k)| + \rho \max_i \max_k |\Delta_i(k)|}$$

• $\Delta_i(k) = |x_0(k) - x_i(k)|$（理想序列差值）
• $\rho$为分辨系数（通常取0.5）
  关联度：$r_i = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \gamma(x_0(k), x_i(k))$
  优势：对小样本、贫信息数据敏感。

5. ELECTRE法（消去与选择转换算法）

核心：通过构建和谐集与不和谐集淘汰劣解。
步骤：

1. 计算和谐指数：$H_{ik} = \sum_{j \in J^+} w_j + \sum_{j \in J^=} w_j$
   （$J^+$：方案$i$优于$k$的指标集）
2. 不和谐指数：$D_{ik} = \max_{j \in J^-} \frac{|r_{ij} - r_{kj}|}{d_{\max}}$
   （$J^-$：方案$i$劣于$k$的指标集）
3. 净优势排序：淘汰$D_{ik} > D_{\text{阈}}$且$H_{ik} < H_{\text{阈}}$的方案
   适用场景：复杂非补偿性决策（如环保评估）。

6. 组合赋权-TOPSIS（熵权+AHP+TOPSIS）

流程：

1. 主观权重：AHP法确定权重$w_j^{\text{sub}}$
   • 构建判断矩阵，计算特征向量
2. 客观权重：熵权法确定$w_j^{\text{obj}}$
3. 组合权重：$w_j = \alpha w_j^{\text{sub}} + (1-\alpha) w_j^{\text{obj}}$
4. TOPSIS排序：计算相对贴近度$C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$
   优势：主客观结合，提升模型鲁棒性。

方法对比与选择建议

实践建议：

• 数据丰富时优先使用CRITIC或熵权-TOPSIS；
• 指标冲突明显时选择VIKOR；
• 样本量少时采用灰色关联；
• 重大决策推荐组合赋权法降低偏差。