前期知识

矩阵的乘法：左侧矩阵的$i$行向量乘右侧矩阵的$j$列向量，依次对应，相乘后相加，得到的结果为矩阵第$i$行，第$j$列的元素。
什么是齐次矩阵：行列相等。
矩阵的转置：行变列，列变行。角标$T$表示矩阵的转置。

简单的平移、旋转、对称

一个点的坐标为$(x,y)$，使用矩阵中的列向量表示为$M=(x,y,1)$^$T$。

1. 平移

假设该点在X轴方向上移动dx距离，在Y轴方向上移动dy距离。
根据矩阵乘法的特点，可以写出2x2的平移矩阵为：$M_1=\left[\begin{array}{llc}1& 0& dx\\ 0& 1& dy\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

计算$M_1\ast M$为$M^{\prime }=\left[\begin{array}{llc}1& 0& dx\\ 0& 1& dy\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x+dx\\ y+dy\\ 1\end{array}\right]$

可得平移后的坐标为$(x+dx,y+dy)$。

2. 旋转

旋转使用极坐标进行推导，得出2*2的旋转矩阵。$\alpha$为点向量与X正半轴的夹角，$\theta$为顺时针旋转的角度。

$\{\begin{array}{l}x=rcos(\alpha -\theta )\\ \\ y=rsin(\alpha -\theta )\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=rcos\alpha cos\theta +rsin\alpha sin\theta \\ \\ y=rsin\alpha cos\theta -rcos\alpha sin\theta \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=xcos\theta +ysin\theta \\ \\ y=ycos\theta -xsin\theta \end{array}$

根据推导出的公式，我们可以得到旋转矩阵为：$M_2=\left[\begin{array}{llc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

计算$M_2\ast M$为$M^{\prime }=\left[\begin{array}{llc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}xcos\theta +ysin\theta \\ -xsin\theta +ycos\theta \\ 1\end{array}\right]$

可得旋转后的坐标为$(xcos\theta +ysin\theta ,-xsin\theta +ycos\theta )$

3.对称
考虑一个点关于X轴对称，那么它的对称矩阵为：$M_3=\left[\begin{array}{llc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

进行矩阵运算$M^{\prime }=\left[\begin{array}{llc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x\\ -y\\ 1\end{array}\right]$

可得关于X轴对称的坐标为$(x,-y)$。

求点关于任意直线的对称点

设直线方程为$y=mx+b$。
我们考虑之前的平移、旋转、对称操作，这三个基本操作的组合运动其实可以完成关于任意直线的对称。
如果让直线与X轴重合，那么我们求点的对称将非常方便，那么继续考虑，如何让直线对于点来说是X轴呢？在$y=mx+b$中我们知道，直线在Y轴上距离原点的距离为$b$，因此我们先将点向下平移$b$,此时$y=mx+b$相对于X轴有个夹角$\theta$，所以我们可以将点顺时针旋转$\theta$，得到变换后的点关于X轴对称，然后将计算出的点，按照之前的动作，逆旋转、逆平移，最终的得到答案。

根据而我们的分析，得矩阵变换公式为：
$$M^{\prime }=\left(\begin{array}{l}\left[\begin{array}{llc}1& 0& 0\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{l}\left[\begin{array}{llc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{l}\left[\begin{array}{llc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{l}\left[\begin{array}{llc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left(\begin{array}{l}\left[\begin{array}{llc}1& 0& 0\\ 0& 1& -b\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{l}x\\ y\\ 1\end{array}\right]\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)\end{array}\right)$$

按照括号依次计算

$M_0^{\prime }=\left[\begin{array}{l}x\\ y-b\\ 1\end{array}\right]M_1^{\prime }=\left[\begin{array}{l}xcos\theta +(y-b)sin\theta \\ -xsin\theta +(y-b)cos\theta \\ 1\end{array}\right]M_2^{\prime }=\left[\begin{array}{l}xcos\theta +(y-b)sin\theta \\ xsin\theta -(y-b)cos\theta \\ 1\end{array}\right]$
$M_3^{\prime }=\left[\begin{array}{l}x(1-2si{n}^2\theta )+2(y-b)sin\theta cos\theta \\ 2xsin\theta cos\theta +(y-b)(1-2co{s}^2\theta )\\ 1\end{array}\right]M_4^{\prime }=\left[\begin{array}{l}x(1-2si{n}^2\theta )+2(y-b)sin\theta cos\theta \\ 2xsin\theta cos\theta +(y-b)(1-2co{s}^2\theta )+b\\ 1\end{array}\right]$

最终得到得坐标为$(x(1-2si{n}^2\theta )+2(y-b)sin\theta cos\theta ,2xsin\theta cos\theta +2(y-b)(1-2co{s}^2\theta )+b)$

根据$y=mx+b$得$\frac{sin\theta }{cos\theta }=m$并且$si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$，得出$si{n}^2\theta =\frac{m^2}{m^2+1},co{s}^2\theta =\frac{1}{m^2+1}，sin\theta cos\theta =\frac{m}{m^2+1}$，带入结果得
坐标为$(x\frac{1-m^2}{m^2+1}+2(y-b)\frac{m}{m^2+1},2x\frac{m}{m^2+1}+(y-b)\frac{m^2-1}{m^2+1}+b)$

得齐次反射矩阵

$$\left[\begin{array}{llc}\frac{1-m^2}{m^2+1}& \frac{2m}{m^2+1}& -\frac{2mb}{m^2+1}\\ \frac{2m}{m^2+1}& \frac{m^2-1}{m^2+1}& \frac{2b}{m^2+1}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$