几何变化

一、概述

图形变换：是一种几何变换，在二维图形处理过程中，常常需要对平面图形的形状，尺寸，显示方向和显示位置进行修改，来达到改变图形的目的。

几何变换：是一种先行变换，对原来图形中的一点坐标通过变换生成一个新的点坐标：对原来图形中的一条直线的变换是通过直线上的亮点作变换后的新的端点坐标，然后连接这两个新的端点，便得到变换后的直线；类似的，可以进行各种图形的几何变换。几何变换的表示采用3*3矩阵的形式，称为变换矩阵，点的坐标表示采用齐次坐标形式（齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。），故几何变换操作的过程是将变换矩阵M作用于齐次坐标点P生成新的坐标点P‘，P’=PM，下边讨论4中基本坐标变换。

二、平移变换

点的平移变换是指该点在X轴和Y轴方向上分别移动一段距离。设图形上点P(x,y)，将x轴和y轴方向分别移动Tx和Ty，结果生成新的点P‘(x',y'),如图所示则有

三、缩放变换

点的缩放是指该点沿x轴和y轴方向按比例缩小或放大的变换。设图形上的点P(x,y),在X轴和Y轴方向分表作Sx和Sy的缩放，结果生成新的点坐标P‘(x',y'),如同说是，则

四、旋转变换

点的旋转变换是指将点绕坐标远点旋转一角度的坐标变换。设有图形上点P(x,y),将器绕原点旋转变换 θ角度(假设按逆时针旋转为正角)，结果生成的新的点坐标P‘(x',y')

将点P绕原点做逆时针旋转θ角度的变换看作将坐标系原点做顺时针旋转θ角度的等价变换

x' = xcosθ-ysinθ

y' = xsinθ+ycosθ

其中θ为点绕原点旋转的角度(逆时针为正，顺时针为负)

五、变形变换

六、组合变换

实际上，一般的图形变换更多的是组合变换，即有一系列基本的几何变换结合而成的，则组合变换矩阵也可由一系列基本几何变换举证的乘积来表示，矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。