第七章 参数估计

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7.1 参数估计的基本原理

参数估计：用样本统计量去去估计总体的参数

7.1.1 估计量与估计值

• 估计量（$\hat{\theta }$）：用于估计总体参数的随机变量
• 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值

样本统计量（估计量） \\ $\hat{\theta }$	总体参数 （被估计的参数）\\ $\theta$
$样本均值\bar{x}$	$总体均值\mu$
$样本比例p$	$总体比例\pi$
$样本方差s^2$	$总体方差{\sigma }^2$

7.1.2 点估计和区间估计

• 点估计：用样本的估计量$\hat{\theta }$的某个取值直接作为总体参数$\theta$的估计值

  • 一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量
  • 由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值

• 区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到
  

  • 置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计区间

    • 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以取名为置信区间
    • 置信上限：置信区间的最小值
    • 置信下限：置信区间的最大值
      

  • 置信水平（$1-\alpha$）：置信区间中包含总体参数真值的次数，又称置信度或置信系数（$\alpha$为是总体参数未在区间内的比例）

常用置信水平的$z_{2/\alpha }$值：

置信水平	$\alpha$	$\alpha /2$	$z_{\alpha /2}$
90%	0.10	0.05	1.645（$z_{0.05}=$ 1.645 ）
95%	0.05	0.025	1.96（$z_{0.025}=$ 1.96）
99%	0.01	0.005	2.58（$z_{0.005}=$ 2.58）

7.1.3 评价估计量的标准

• 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，即$E(\hat{\theta })=\theta$，称$\hat{\theta }为\theta$的无偏估计量。
• 有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效，即$D(\hat{\theta })$越小，估计越有效。
• 一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数

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7.2 一个总体参数的区间估计

7.2.1 总体均值的区间估计

• 大样本
  • 不论总体是不是正态分布，只要是大样本就有样本均值的标准化变量：
    $$z=\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$
    总体均值$\mu$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
    $$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$
    或
    $$\bar{x}\pm z_{\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}（\sigma 未知）$$
• 小样本
  • 正态总体且总体方差${\sigma }^2$已知：可使用大样本中的$z$分布来计算
  • 正态总体且总体方差${\sigma }^2$未知，样本均值的标准化变量为：
    $$t=\frac{\bar{x}-\mu }{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
    总体均值$\mu$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
    $$\bar{x}\pm t_{\alpha /2}\frac{s}{\sqrt{n}}$$

7.2.2 总体比例的区间估计

• 样本比例的标准化变量：
  $$z=\frac{p-\pi }{\sqrt{\pi (1-\pi )/n}}\sim N(0,1)$$
• 总体比例$\pi$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
  $$p\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

7.2.3 总体方差的区间估计

• 样本方差的标准化变量：
  $${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$
• 总体方差${\sigma }^2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
  $${\chi }_{1-\alpha /2}^2\le \frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\le {\chi }_{\alpha /2}^2$$
  $$\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2}\le {\sigma }^2\le \frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2}$$

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7.3 两个总体参数的区间估计

7.3.1 两个总体均值之差的区间估计

• 独立样本
  如果两个样本是从两个不同的总体中独立抽取的，就称为独立样本。

  1. 大样本：只要是大样本就有标准化变量：
     $$z=\frac{({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n2}}}\sim N(0,1)$$
     总体均值之差${\mu }_1-{\mu }_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
     $$({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}$$
     或
     $$({\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2)\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}(\sigma 未知时)$$
  2. 小样本：两个总体需要服从正态分布
     • 当两个总体方差${\sigma }_1^2$和${\sigma }_2^2$已知时：可使用大样本中的$z$分布来计算
     • 当两个总体方差${\sigma }_1^2$和${\sigma }_2^2$未知时：
       • ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$时：
         总体方差的合并估计量：
         
         
         总体均值之差${\mu }_1-{\mu }_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
         
       • ${\sigma }_1^2$ $\ne$ ${\sigma }_2^2$时：
         自由度v：
         总体均值之差${\mu }_1-{\mu }_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
         

• 匹配样本
  $d和d_i：两个匹配样本差值$
  $\bar{d}：全部匹配样本差值的均值$
  ${\sigma }_d：总体各差值的标准差$
  $s_d：样本差值的标准差$

  1. 大样本
     两个总体均值之差${\mu }_d={\mu }_1-{\mu }_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
     $$\bar{d}\pm z_{\alpha /2}\frac{{\sigma }_d}{\sqrt{n}}$$
  2. 小样本：两个总体各观察值的配对差服从正态分布
     两个总体均值之差${\mu }_d={\mu }_1-{\mu }_2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
     $$\bar{d}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s_d}{\sqrt{n}}$$

7.3.2 两个总体比例之差的区间估计

• • 标准化变量：
    
• • 两个总体比例之差${\pi }_1-{\pi }_2$在$1-\alpha$ 置信水平下
    的置信区间为：
    

7.3.3 两个总体方差比的区间估计

这里面的$F_{\alpha /2}$和$F_{1-\alpha /2}$都是服从分子自由度为$n_1-1$和分母自由度为$n_2-1$的F分布的分位数。

• 标准化变量：
  $$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$
  因为：
  $$F_{1-\alpha /2}\le F\le F_{\alpha /2}$$
  有:
  $$F_{1-\alpha /2}\le \frac{s_1^2}{s_2^2}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\le F_{\alpha /2}$$
  所以总体方差比${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$在$1-\alpha$置信水平下的置信区间为：
  $$\frac{s_1^2/s_2^2}{F_{\alpha }/2}\le \frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}\le \frac{s_1^2/s_2^2}{F_{1-\alpha /2}}$$
  根据$F_{\alpha /2}$求$F_{1-\alpha /2}$：
  $$F_{1-\alpha /2}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$$

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7.3小结：

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7.4 样本量的确定

在进行参数估计之前，首先应确定一个适当的样本量，也就是应该抽取一个多大的样本来估计总体参数，所以就需要确定样本量。

• $E$（希望估计误差）：代表希望达到的标准误差；
• $n$（样本量）：代表希望抽取的样本量，算出来的n向上取整；

7.4.1 估计总体均值时样本量的确定

• $E=z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
• $n=\frac{(z_{\alpha /2}{)}^2{\sigma }^2}{E^2}$

7.4.2 估计总体比例时样本量的确定

• $E=z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\pi (1-\pi )}{n}}$
• $n=\frac{(z_{\alpha /2}{)}^2\pi (1-\pi )}{E^2}$