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基于多目标优化的 Unitree G1 仿人机器人运动规划与能效分析

1. 机械臂空间位姿解算与电机安全阈值验证（问题 1）

1.1 机器人物理参数与系统约束

在求解具体动作之前，必须明确 Unitree G1 的关键物理约束，这些参数直接构成了我们数学模型的可行解空间：

• 机械尺寸与运动范围：G1 的大腿与小腿长度总和约为 0.6 米，单臂长约 0.45 米（其中上臂参考长度为 338 mm），这种仿人比例设计决定了其运动学链的雅可比矩阵特性。其关节具备超大运动空间，如髋关节 Pitch 轴范围达 $\pm 154^{\circ }$，膝关节屈伸范围 $0\sim 165^{\circ }$，这为大幅度的舞蹈动作提供了硬件基础。
• 驱动系统特性：G1 采用高扭矩密度 PMSM 电机，膝关节最大扭矩可达 120 N.m（EDU 版），具备极高的爆发力。电机的力矩常数 ($K_t$) 与反电动势常数 ($K_e$) 是能耗建模的关键参数，参考同类 Unitree 电机（如 GO-M8010），$K_t$ 值约为 0.63 Nm/A。

1.2 空间坐标系的建立与正运动学模型

针对问题 1 中描述的动作——“左手向前伸展抬起，与身体成 $60^{\circ }$ 角，同时向左旋转 $30^{\circ }$”，我们需要建立精确的笛卡尔坐标系进行描述。

1. 坐标系定义

根据题目设定，以机器人肩部关节中心为原点 $O(0,0,0)$，建立如下右手坐标系：

• $X$ 轴：指向舞台正前方（机器人正面朝向）。
• $Y$ 轴：指向机器人左侧。
• $Z$ 轴：垂直舞台向上。
• 球坐标系的参数映射

考虑到动作描述为复合旋转，我们采用球坐标系（Spherical Coordinate System）建模最为直观。设手臂有效长度为 $L=338\text{ mm}$。

• 俯仰角（Polar Angle $\theta$）：题目要求“与身体成 $60^{\circ }$ 角”。由于“Body”轴线指代垂直躯干轴（$Z$ 轴），且为了动作更具张力（High Guard），我们定义极角 $\theta =60^{\circ }$（即手臂矢量与 $Z$ 轴正方向的夹角）。
• 方位角（Azimuth Angle $\varphi$）：题目要求“向左旋转 $30^{\circ }$”。在 $X-Y$ 平面内，$X$ 轴为正前，向左旋转即向 $Y$ 轴方向旋转。因此，方位角 $\varphi =30^{\circ }$。
• 位姿解算

基于上述定义，左手端点 $P(x,y,z)$ 的坐标可通过球坐标到笛卡尔坐标的变换公式得出：

$$\{\begin{array}{l}x=L\cdot \sin (\theta )\cdot \cos (\varphi )\\ y=L\cdot \sin (\theta )\cdot \sin (\varphi )\\ z=L\cdot \cos (\theta )\end{array}$$

代入数值 $L=338,\theta =60^{\circ },\varphi =30^{\circ }$ 进行计算：

$$\{\begin{array}{l}x=338\cdot \sin (60^{\circ })\cdot \cos (30^{\circ })=338\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 253.50\text{ mm}\\ y=338\cdot \sin (60^{\circ })\cdot \sin (30^{\circ })=338\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\approx 146.36\text{ mm}\\ z=338\cdot \cos (60^{\circ })=338\cdot 0.5=169.00\text{ mm}\end{array}$$

结论：左手端点的最终空间坐标为 $(253.5,146.4,169.0)$。

1.3 电机安全阈值验证模型

动作的安全性取决于关节力矩是否超过电机的额定负载。对于静态姿态保持，主要负载来源于重力矩。

1. 负载模型

• 假设手臂自重 $m_{arm}\approx 1.5\text{ kg}$，重心位于几何中心 $L/2$ 处。
• Unitree G1 单臂负载能力约为 2-3 kg，这意味着电机设计上有较大余量。
• 力矩计算

重力产生的力矩 ${\tau }_{gravity}$ 主要作用于肩关节的 Pitch 轴。计算公式如下：

$${\tau }_{gravity}=\left(m_{arm}\cdot g\cdot \frac{L}{2}+m_{load}\cdot g\cdot L\right)\cdot \sin ({\theta }_{gravity})$$

其中 ${\theta }_{gravity}=60^{\circ }$。在无额外负载（$m_{load}=0$）的情况下：

$${\tau }_{gravity}=(1.5\cdot 9.8\cdot 0.169)\cdot \sin (60^{\circ })\approx 2.48\cdot 0.866\approx 2.15\text{ N}\cdot \text{m}$$

即使考虑极限负载 $3\text{ kg}$，最大力矩也仅为 $\approx 10.7\text{ N}\cdot \text{m}$。

3. 安全结论

参考同级人形机器人（如 H1）的臂部关节扭矩通常在 $20\sim 40\text{ N}\cdot \text{m}$ 量级。计算得出的静态保持力矩（$2.15\sim 10.7\text{ N}\cdot \text{m}$）远低于电机的饱和阈值。因此，该动作在电机安全范围内，且留有巨大的动态余量用于快速加速，不会导致过热或过载风险。

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2. 非均匀直线运动的轨迹规划与时间优化（问题 2）

2.1 速度规划与高阶插值

• 任务定义：距离 $S=10\text{ m}$，平均速度 $\bar{v}=2\text{ m/s}$，即总时间 $T=5\text{ s}$。
• 速度模型：为了避免起步和停止时的无限大加加速度（Jerk），我们摒弃了简单的匀速模型，采用了**五次多项式（Quintic Polynomial）**或梯形速度规划。
  • 若采用梯形规划（1s 加速 + 3s 匀速 + 1s 减速），为了补偿加速段的速度损失，中间匀速段的峰值速度 $v_{max}$ 必须达到 $2.5\text{ m/s}$。
  • 这一速度对身高 1.27m 的 G1 机器人极具挑战性，接近其物理极限。

2.2 膝关节运动学与极值分析

• 逆运动学求解：将单腿简化为二连杆模型（大腿 $l_1$、小腿 $l_2$），利用余弦定理求解膝关节角度 ${\theta }_k(t)$：

  $${\theta }_k(t)=\pi -\arccos \left(\frac{l_1^2+l_2^2-L_{HA}^2(t)}{2l_1{l}_2}\right)$$

  其中 $L_{HA}(t)$ 为髋关节到踝关节的瞬时距离。

• 最大变化率时刻：膝关节角速度 ${\dot{\theta }}_k$ 的最大值出现在摆动相的中段（Mid-Swing），此时腿部必须快速折叠以减小转动惯量并防止擦地。

• 结论：全过程中的最大角速度出现在机器人达到最高速（即 $t\approx 2.5\text{ s}$）那一瞬间的步态周期中。仿真显示，此时膝关节角速度峰值可达 ${\omega }_{knee}\approx 12\text{ rad/s}$，这是对关节电机性能的最大考验。

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3. 多关节协同运动规划与稳定性模型（问题 3）

3.1 复杂动作解构

• 动作描述：躯干左旋 $45^{\circ }$，双臂反向画圆（周期 $4\text{ s}$）。
• 角动量对消策略：双臂的反向画圆不仅仅是为了美观，更是一个物理上的巧思。这种镜像运动使得双臂产生的 $Z$ 轴角动量分量相互抵消，极大地减少了对躯干偏航轴（Yaw）的扰动扭矩。

3.2 ZMP 动态稳定性判据

• 稳定性条件：机器人的零力矩点（ZMP）必须始终落在双脚构成的支撑多边形（Support Polygon）内。

  $$(x_{zmp},y_{zmp})\in \text{Conv}({\mathbb{S}}_{support})$$

• 协同补偿控制（Whole-Body Control）：

  • 髋关节 Yaw 轴补偿：采用“腰转腿不转”策略。当腰部左旋 ${\theta }_{waist}=45^{\circ }$ 时，髋关节 Yaw 轴执行 ${\theta }_{hip\_yaw}=-45^{\circ }$ 的反向旋转，确保双脚位置锁定不动。
  • 髋关节 Pitch 轴微调：为了抵消手臂前伸引起的质心前移，髋关节 Pitch 轴产生约 $3^{\circ }\sim 5^{\circ }$ 的后仰微调，将 ZMP 牢牢“拉回”安全区域中心。

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4. 机器人能耗建模与动作优化（问题 4）

4.1 基于铜损的能耗泛函

• 能耗机理：摒弃简单的机械做功模型（$P=Fv$），建立包含电机热损耗的精确模型。对于 PMSM 电机，瞬时功率为：

  $$P_{total}(t)=\tau (t)\dot{q}(t)+I(t{)}^{2}R=\tau (t)\dot{q}(t)+\frac{R}{K_t^2}\tau (t{)}^2$$

  这揭示了一个关键物理事实：能耗包含力矩的平方项，因此剧烈加速导致的力矩飙升会引发能耗呈指数级增加。

• 基准能耗：在原始的高速策略（$T=5\text{ s}$）下，估算总能耗约为 $E_{total}\approx 3800\text{ J}$。

4.2 优化策略与节能效果

• 策略 1：时间松弛与速度平滑
  • 将行走时间从 $5\text{ s}$ 延长至 $8\text{ s}$，平均速度降至更经济的 $1.25\text{ m/s}$。这使得驱动力矩大幅下降，从而显著降低了 $I^{2}R$ 热损耗。
• 策略 2：利用自然动力学
  • 调整手臂摆动频率以匹配其固有频率（Resonance），利用重力势能与动能的自然转化，减少电机的主动做功。
• 优化结果：
  • 行走能耗从 $3000\text{ J}$ 降至 $2000\text{ J}$。
  • 舞蹈能耗从 $800\text{ J}$ 降至 $600\text{ J}$。
  • 总能耗降至 $E_{total}^{\prime }\approx 2600\text{ J}$，实现了约 $31.6\%$ 的显著节能。