TPS（Thin Plate Spline，薄板样条）是一种非刚性形变，一种插值方法，该方法的输入是两张图像中的多组匹配点对，常见的获取匹配点对算法为SIFT、SURF、ORB，以及光流跟踪等。 TPS的基本思想是让这些匹配点精确对齐，其他地方的自动、平滑的‘弯曲’过渡，同时‘弯曲能量’最小。

        我们重新假设已经获取到两张图像的n组匹配点对：(P1(x1,y1),P1’(x1’,y1’))、P2((x2,y2),P2’(x2’,y2’))、…、(Pn(xn,yn), Pn’(xn’,yn’))。P1为变换前的点，P1’为变换后的点。TPS形变的目标是求解一个函数f，使得f(Pi)=Pi’ (1≤i≤n)，并且弯曲能量函数最小，同时图像上的其它点也可以通过插值得到很好的校正。那么使用TPS变换计算图A与图B的坐标对应关系的过程如下。

样条函数形式:

上式中只要求出 a1，a2，a3和wi(1≤i≤n)，就可以确定f(x,y)，其中U是基函数，在样条函数中的前三项是仿射变换部分（负责整体的平移、缩放、旋转等线性操作），后面一项是对局部形变的描述。

基函数U的形式：

 由上述可见r为欧氏距离，（xi，yi）是空间中任意一个待变形的点，控制点（xj，yj）也是事先规定变形目标的点（是一开始输入的图A图B的匹配点对，也就是控制点对）

记矩阵K、L、Y为：

 K：记录着控制点与待形变点的距离（决定着点与点之间形变程度），弯曲约束。

P：提供控制点的位置信息，用来算整体挪动旋转，仿射约束。

L ：组合K、P，其中包含了如何弯曲、移动旋转。

Y：上半部分说明控制点需要被移动到的新位置的坐标数据，下半部分全0是用于仿射部分的约束条件（确保权重w的加权和为0）。

由LW=Y解得W矩阵:

 权重w：是n*1的列向量，n为控制点个数

仿射参数a：是TPS插值函数中的前三项的系数，a1：常数项（控制平移）、a2：x方向的线性系数、a3：y方向的线性系数。

从而有A的任意坐标(xi,yi)到B的任意坐标(xi’,yi’)的映射：