引言

在数据分析和科学计算中，模型的拟合与预测是非常重要的任务。本文将通过一个实际案例，介绍如何使用Python中的numpy、pandas和scipy.optimize库，结合数学模型对数据进行拟合与预测。我们将以人口增长模型为例，展示如何从数据中提取关键参数，并预测未来的值。

1. 数据准备

利用下表给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），建立人口预测模型，最后用它预报2010年美国的人口。

  首先，我们需要加载近两年来人口数据的变化，以建立人口预测模型。读取Excel文件data8_13.xlsx的人口数据，其中包含了一些年份和对应的人口数据。

     
                           

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit

# 读取Excel文件
a = pd.read_excel('data\data8_13.xlsx', header=None)
b = a.values  # 转换为NumPy数组

# 提取数据
xd = b[1::2, :]  # 每隔一行提取数据
xd = xd[~np.isnan(xd)]  # 去除NaN值

# 定义时间序列
td = np.linspace(1790, 2000, 22)  # 从1790年到2000年，共22个时间点

2. 定义数学模型

我们使用逻辑斯蒂增长模型（Logistic Growth Model）来描述人口增长。模型的公式为：

其中：

• x(t)是时间 t时的人口数量。

• xm是人口的承载能力（最大值）。

• r是增长率。

• x0 是初始人口数量（在 t0​ 时刻）。

在代码中，我们定义了一个lambda函数来表示这个模型：

x = lambda t, r, xm: xm / (1 + (xm / 3.9 - 1) * np.exp(-r * (t - 1790)))

3. 使用curve_fit进行参数拟合

scipy.optimize.curve_fit是一个强大的工具，用于拟合非线性模型。我们可以通过它来估计模型中的参数 r和 xm​。

# 定义参数的边界
bd = [(0, 200), (0.1, 1000)]

# 使用curve_fit拟合模型
p1 = curve_fit(x, td[1:], xd[1:], bounds=bd)[0]

# 预测2010年的人口
y = round(x(2010, *p1), 4)
print("2010年预测值为：", y)

4. 使用差分法估计参数

除了curve_fit，我们还可以通过差分法来估计模型的参数。差分法的基本思想是利用人口增长率与人口数量的关系来推导参数。

方法1：基于前向差分

n = len(xd)
b1 = np.diff(xd) / 10 / xd[:-1]  # 计算增长率
a1 = np.vstack([np.ones(n - 1), -xd[:-1]]).T  # 构造矩阵
p2 = np.linalg.pinv(a1) @ b1  # 求解线性方程

r = p2[0]
xm = r / p2[1]
xh2 = x(2010, r, xm)
print('--------')
print(round(r, 4))
print(round(xm, 4))
print(round(xh2, 4))

方法2：基于后向差分

b2 = np.diff(xd) / 10 / xd[1:]  # 计算增长率
a2 = np.vstack([np.ones(n - 1), -xd[:-1]]).T  # 构造矩阵
p3 = np.linalg.pinv(a2) @ b2  # 求解线性方程

r = p3[0]
xm = r / p3[1]
xh3 = x(2010, r, xm)
print('--------')
print(round(r, 4))
print(round(xm, 4))
print(round(xh3, 4))

完整代码如下：

import numpy as np 
import pandas as pd 
from scipy.optimize import curve_fit

a=pd.read_excel('data\data8_13.xlsx',header=None)
b=a.values
xd=b[1::2,:]
xd=xd[~np.isnan(xd)]
td=np.linspace(1790,2000,22)
x=lambda t,r,xm:xm/(1+(xm/3.9-1)*np.exp(-r*(t-1790)))
bd=[(0,200),(0.1,1000)]

p1=curve_fit(x,td[1:],xd[1:],bounds=bd)[0]
y=round(x(2010,*p1),4)
print(p1)
print("2010年预测值为：",y)

n=len(xd)
b1=np.diff(xd)/10/xd[:-1]
a1=np.vstack([np.ones(n-1),-xd[:-1]]).T
p2=np.linalg.pinv(a1) @ b1
r=p2[0]
xm=r/p2[1]
xh2=x(2010,r,xm)
print('--------')
print(round(r,4))
print(round(xm,4))
print(round(xh2,4))

b2=np.diff(xd)/10/xd[1:]
a2=np.vstack([np.ones(n-1),-xd[:-1]]).T
p3=np.linalg.pinv(a2)@b2

r=p3[0]
xm=r/p3[1]
xh3=x(2010,r,xm)
print('--------')
print(round(r,4))
print(round(xm,4))
print(round(xh3,4))

5. 结果分析

通过上述方法，我们得到了不同的参数估计值和预测结果。以下是一些关键结果：

• curve_fit方法：

  • 参数 r和 xm的估计值。

  • 2010年人口预测值。

• 差分法（前向差分）：

  • 参数 r 和 xm​ 的估计值。

  • 2010年人口预测值。

• 差分法（后向差分）：

  • 参数 r 和 xm的估计值。

  • 2010年人口预测值为282.6798百万人。

6. 总结

本文展示了如何使用Python进行数据拟合与预测。我们通过逻辑斯蒂增长模型，结合curve_fit和差分法，对人口数据进行了分析，并预测了未来的值。这种方法不仅适用于人口增长模型，还可以推广到其他领域的数据分析中。

扩展阅读

• 逻辑斯蒂增长模型：详细了解逻辑斯蒂增长模型的数学原理。

• scipy.optimize.curve_fit：深入学习如何使用curve_fit进行非线性拟合。

• 差分法：探索差分法在数值分析中的应用。