2025 年第十五届 MathorCup 数学建模B题完整分析论文

目录

摘要 

一、问题重述 

二、问题分析 

三、模型假设 

四、 模型建立与求解 

4.1问题1 

4.1.1问题1思路分析 

4.1.2问题1模型建立 

4.1.3问题1样例代码（仅供参考） 

4.1.4问题1求解结果（仅供参考） 

4.2问题2 

4.2.1问题2思路分析 

4.2.2问题2模型建立 

4.2.3问题2样例代码（仅供参考） 

4.2.4问题2求解结果（仅供参考） 

4.3问题3 

4.3.1问题3思路分析 

4.3.2问题3模型建立 

4.3.3问题3样例代码（仅供参考） 

4.3.4问题3求解结果（仅供参考） 

4.4问题4 

4.4.1问题4思路分析 

4.4.2问题4模型建立 

4.4.3问题4样例代码（仅供参考） 

4.4.4问题四求解结果（仅供参考） 

五、 模型推广 

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摘要

本论文针对老城区平移置换决策问题，提出了一系列数学建模与优化方案，旨在为规划局和开发商提供有效的决策支持。老城区更新搬迁是城市发展中的一个重要课题，其过程涉及到住户搬迁补偿、地块整合、投资回报等多个方面。本文通过构建数学模型，全面分析了搬迁补偿、整院优化、性价增益及软件决策等关键问题，并通过智能化工具来辅助决策制定，提高了搬迁过程的科学性与经济性。

问题一主要解决了搬迁补偿方案的设计问题。考虑到住户房屋的朝向、面积、布局、心理价位、住宿舒适度等因素，设计了一个综合性的补偿计算模型。该模型通过对住户情况的量化分析，确定了面积补偿、采光补偿和修缮补偿的标准，使得补偿方案既能充分满足住户需求，又能兼顾开发商的经济利益。此外，论文还提出了其他可能影响住户搬迁意愿的因素，如迁入迁出地块的距离、周边环境的房屋密集度、公共设施的配套等，这些因素的影响通过定性和定量分析得到了详细探讨，并为规划局和开发商提供了应对策略。

问题二主要关注如何通过合理的搬迁决策最大化空出的整院面积。利用问题一的补偿方案作为基础，设计了一个目标函数，旨在最大化搬迁后空出的整院面积，并且尽量减少搬迁住户的数量。通过优化算法，如整数规划和邻接性优化模型，确定了哪些住户需要搬迁，以及搬迁后的地块配置方案，使得腾出的整院尽可能大并且相邻，以便于后续开发。最终，通过计算得到搬迁方案的总成本、整院面积、收入及盈利情况，确保在保底规划成本内完成搬迁任务，并确保利润最大化。

问题三主要解决了搬迁过程中性价比增益的变化问题。通过对投资回报率（性价比m）的建模，分析了在搬迁进程中的性价增益拐点，探索了搬迁十年期内的租金收益与实际搬迁投入之间的关系。通过数值模拟，研究了不同搬迁时机下，性价比的变化趋势，并发现随着搬迁的推进，性价比可能存在拐点，即达到某一搬迁进度后，再继续搬迁的增益会开始递减。通过分析和计算，提出了最佳的搬迁策略，以达到性价比的最优，帮助开发商避免不必要的投资风险，并提高投资回报。

问题四的目标是设计一个智能化的软件框架，用于自动化计算老城区的平移置换决策。该软件框架结合前述数学模型，通过设定人工输入的参数，如住户需求、地块面积、房屋类型、补偿标准等，能够自动计算搬迁后的整院配置方案，并依据投资回报率计算最佳搬迁时机。软件框架集成了问题二和问题三的优化方案，能够为规划局和开发商提供智能化决策支持，实现搬迁决策的高效、精准和科学化。

最后，本文提出的数学模型和智能决策框架具有较高的应用价值，不仅能够优化老城区更新搬迁过程，提高搬迁方案的效率和效果，还为类似城市更新项目的决策提供了可行的借鉴。通过对模型的进一步优化和推广，能够帮助各地规划局和开发商更好地应对城市更新过程中的挑战，推动城市建设的可持续发展。

关键词：搬迁补偿 整院优化 性价比拐点 软件框架

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一、问题重述

问题一：搬迁补偿建模

本问题旨在设计一个合理的搬迁补偿方案，充分考虑住户房屋的多个因素，包括朝向、面积、布局、心理价位和住宿舒适度等。补偿方案的设计不仅要涉及到面积补偿、采光补偿和修缮补偿，还应根据每个住户的具体情况，制定个性化的补偿标准。此外，还应考虑到其他可能影响住户搬迁意愿的因素，例如迁入迁出地块离街道的距离、周围房屋的密集程度、交通便利性、教育和医疗等公共资源的可达性等。规划局或开发商应综合这些因素，以提高住户的搬迁接受度，并根据市场调研和住户反馈调整补偿方案，确保方案的公平性与合理性。

问题二：整院面积最大

在问题一的补偿方案基础上，本问题要求设计一个搬迁决策，使得搬迁后空出的完整院落面积最大。具体而言，需要尽可能减少搬迁的住户数量，并通过搬迁决策优化地块的使用，使腾出的整院尽量相互毗邻，最终的总面积最大。通过计算，制定出每户住户的搬迁计划，包括搬迁的顺序、搬迁的地块、搬迁腾出的整院等。要特别关注搬迁的成本控制，确保搬迁方案在保底规划成本内完成。如果实际搬迁成本超出了预算，可以考虑使用备用金进行调整，确保搬迁过程中的平衡与可行性。

问题三：性价增益的搬迁拐点计算

问题三探讨的是在搬迁过程中是否存在性价比增益的拐点。开发商期望通过十年的租金收益与实际搬迁投入的比较来评估搬迁的性价比，通常希望该比值达到或超过20。在此假设租金变化不大且不考虑保底规划成本的情况下，需要判断搬迁进程中是否会出现某个阶段，搬迁带来的性价比开始趋于平稳或下降，即所谓的性价增益拐点。如果存在拐点，需要明确搬迁的具体情况，如搬迁哪些院子的居民，如何调动地块等。同时，也需要计算出搬迁所需的成本、最终的整院面积、收入及盈利，评估是否有必要继续搬迁，或者在性价比低于某个值时考虑停止搬迁。

问题四：老城区平移置换决策软件设计

问题四要求设计一个智能软件框架，用于自动计算老城区平移置换决策。该软件框架应支持规划局根据人工输入的参数来进行搬迁决策。输入参数包括住户信息（如面积、朝向、布局等）、地块信息（如地理位置、周边设施、交通条件等），以及经济指标（如补偿标准、租金收入预期、搬迁成本等）。软件应能够融合问题二中的整院搬迁决策和问题三中的性价比分析，通过计算自动生成搬迁方案，并确定最优的搬迁顺序和目标地块。软件应具有动态调整功能，能够根据实时数据优化搬迁决策，并确保整体搬迁方案的高效性和可行性。

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二、问题分析

问题一：搬迁补偿建模

在搬迁补偿建模中，我们需要充分考虑住户房屋的多个因素，包括朝向、面积、布局、心理价位和住宿舒适度等。这些因素直接影响住户的搬迁意愿，因此需要为每个住户设计合理的补偿方案。面积补偿应根据现有房屋面积与新房面积的差异来计算；采光补偿则考虑到房屋朝向及光照时间的差异；修缮补偿则依据现有房屋的修缮程度和新房的修缮标准来设定。除了文中提到的这些因素外，还需要考虑其他可能影响住户搬迁决策的因素，例如迁入迁出地块的距离、地块周围房屋的密集程度、交通便利性以及周边的教育、医疗等公共服务设施的可达性。规划局或开发商应通过调研这些因素，并根据住户的需求和偏好制定更为个性化的补偿方案，以提高搬迁的接受度。

问题二：整院面积最大

问题二的关键是如何根据问题一中得到的搬迁补偿结果，设计一个搬迁决策，使得最终腾出的整院面积最大，并尽可能地将整院安排为相互毗邻的状态。为了实现这一目标，搬迁住户的数量应尽量减少，以降低社会成本和搬迁难度。具体而言，可以基于每户住户的搬迁意愿、补偿情况及搬迁后居住的舒适度来选择搬迁对象，并考虑到每个地块的面积、形状等特征，保证搬迁后腾出的整院面积尽可能大。需要注意的是，在搬迁过程中，规划应严格遵守保底规划成本，确保在规定预算内完成搬迁任务。如果实际成本不足以完成目标，则可以考虑动用备用金。此外，搬迁方案还需关注搬迁后的住户分布，以便实现整院之间的相互毗邻，保证新的居住环境的合理性。

问题三：性价增益的搬迁拐点计算

问题三主要是分析搬迁进程中的性价比变化，尤其是探讨是否存在性价增益的拐点。性价比是指搬迁后租金收益与实际搬迁投入的比值，开发商希望在十年的租金收益内，性价比达到或超过20。假设租金在十年内没有显著变化，问题的关键是判断是否在搬迁过程中会出现性价比增益的拐点。也就是说，当搬迁达到一定程度时，性价比可能不再随搬迁进程持续提高，而是趋于平稳或下降。如果存在拐点，开发商需要明确计算出何时、在哪些条件下，性价比开始下降。具体来说，需要通过计算每个阶段的搬迁成本与租金收入，找出性价比最优的阶段，并分析拐点出现的原因。如果没有明显拐点，则需要探讨在什么情况下，性价比能够降到足以接受的范围，且仍能保证开发商的投资回报。

问题四：老城区平移置换决策软件设计

在问题四中，规划局希望能够通过一个智能化的软件框架来实现老城区平移置换决策的自动计算，并以此为示范推广到全国范围的老旧街区更新搬迁中。这个软件框架需要设定若干人工输入参数，如住户信息（面积、朝向、布局等），地块信息（地理位置、周边设施、交通便利度等），以及相关的经济指标（搬迁补偿标准、租金收入预期、投入成本等）。基于这些输入参数，软件需要根据问题二中的搬迁决策和问题三中的性价比分析，自动计算出最优的搬迁方案。具体来说，软件应能够在设定的预算范围内，最大化搬迁后的整院面积，并计算出最终的投资回报率。此外，软件还应具备动态调整功能，能够根据实际操作过程中的反馈和变化，自动优化搬迁决策。通过这一智能决策系统，规划局和开发商能够更加高效和精准地进行老城区的搬迁与更新规划。

4.1.1问题1思路分析

第一段：问题背景与建模目标梳理

本问题的核心目标是构建一个合理的搬迁补偿模型，使老城住户在不接受金钱补偿的前提下，愿意接受“平移置换”的搬迁安排。建模需考虑住户当前居住状况与迁入地块的匹配程度，设计一套包含面积补偿、采光补偿与修缮补偿在内的多维度补偿策略，从而在居民权益保障和开发商经济目标之间寻找平衡。模型应具备个性化补偿推荐功能，根据不同住户的居住条件和偏好，动态判断其可接受的搬迁方案。

第二段：核心补偿因素的定性定量建模思路

模型的第一层核心构成是对“面积、采光、修缮”三类补偿要素的建模。面积补偿以“不减面积”为底线，最多30%扩增；采光补偿通过朝向等级排序体现舒适度要求；修缮补偿作为软性手段，在前两项不足时提供增益。具体建模中可对每户建立“原住地块得分”与“候选迁入地块得分”的对比结构，设计搬迁意愿函数或“搬迁匹配得分”，反映居民对候选地块的接受程度。该函数值可作为后续优化与决策的判断依据。

第三段：其他潜在影响因素分析与建模策略

除了面积、采光和修缮三项补偿，居民搬迁意愿还受诸多外部空间与心理因素影响。定量建模可考虑以下几个方面：（1）与主街道或公交点的距离，距离越近通达性越强，宜赋予更高舒适分值；（2）地块周边房屋密度，密度较小的区域意味着更安静舒适的环境；（3）迁入院落已有住户数量，若住户过多可能造成心理抵触；（4）迁入地块的历史文化感或归属感，如靠近居民原院落或相邻街区者可降低抵触情绪。上述因素可通过归一化评分并加入搬迁得分函数中，使模型更符合实际人文环境。

第四段：心理价位与意愿差异建模方式

居民在面对搬迁时存在主观意愿差异，有的可能愿意接受更远但更舒适的迁入地块，有的则更注重原地段不变。因此，模型应支持对住户意愿进行分类（如“强依赖原地段”、“注重住房质量”、“偏好低密安静”），并为不同类型设计不同的搬迁策略权重。此外，还应考虑“心理补偿价位”——即居民认为搬迁所需获得的整体得分提升量（如面积+采光+修缮总分提升≥原居住得分的某一百分比）。可将该心理阈值作为是否接受搬迁的判定标准，增加模型的柔性与个性化。

第五段：开发商/规划局的对策设计思路

从规划者角度，模型应为每户提供可行搬迁方案列表，并标注补偿类型与等级，帮助判断哪些居民更易搬迁，哪些需要重点攻克。在资源有限的情况下，可优先选择“低补偿高接受度”的住户进行置换，以降低成本。在模型输出层面，可构建“搬迁可行性热力图”或“搬迁成本收益双评估清单”，为后续整院腾退做铺垫。同时，系统可提示“搬迁失败风险”高的地块，提前规避资源浪费和协商失败的隐患，从而为问题二的大范围整院置换提供数据支持和决策基础。

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4.2.1问题2思路分析

一、问题目标与核心逻辑

本问题的首要目标是最大化搬迁后空出的“完整院落”的数量与总面积，而非仅看个体住房的搬迁效果。整院定义为：同一院落内的所有住户全部搬迁，才能被视为“完整空出”，具备后续统一开发利用的价值。因此，模型需从个体搬迁意愿上升到整体院落搬迁可行性评估。

同时，还应注意以下优化方向：

1. 完整院落的个数尽可能多

2. 完整院落之间尽量相互毗邻（便于连片改造）

3. 整院总面积尽可能大（带来更高改造价值）

4. 搬迁住户数尽量少（降低补偿总成本）

5. 总成本控制在保底预算内，必要时使用备用金

二、搬迁方案设计的基本思路

本问题可分为如下几个关键建模步骤：

1. 院落级结构建模

将所有住户按所属院落编号归类；

统计每个院落的住户数、总面积、地理位置；

记录院落之间的邻接关系，构建“院落邻接图”。

2. 搬迁意愿整合（基于问题一）

根据问题一模型输出结果，获取每个住户是否接受搬迁（即是否存在补偿方案使得满意度超过心理阈值）；

判断某一院落内的所有住户是否都愿意搬迁，若是，则该院落可“整院腾退”；

将能整院腾退的院落加入候选集，标注腾退成本（即该院落下所有居民补偿成本之和）。

3. 整院组合优化选择

在所有可整院腾退的院落中，优先选择“彼此相邻、面积大、住户少、成本低”的院落组合；

引入“邻接约束”或“连通性指标”，确保所选院落在地理上成片；

设计优化目标函数，综合考虑以下权衡：

腾退的完整院落数；

腾退院落总面积；

院落间连通性；

搬迁成本总额；

涉及搬迁的住户数量。

三、搬迁路径与成本计算

对每个被选中整院搬迁的住户，查找其满意的候选地块，并匹配入住；

记录住户从原地块到目标地块的迁移路径；

累加所有搬迁住户的补偿成本，得到搬迁总成本；

检查是否超过规划保底预算，如超出，则分配备用金。

四、收益与盈利估算

整院腾退后可用于改造建设，需评估腾退院落的总面积、地理位置等价值指标；

利用政策、市场或题设给出的标准，估算每平方米带来的潜在收益；

最终盈利 = 潜在收益总额 − 搬迁补偿成本 − 其他改造成本（如有）。

五、进一步优化与约束设计

可采用启发式算法（如遗传算法、模拟退火等）在庞大搬迁方案空间中搜索最优组合；

设置“搬迁住户比例阈值”限制，防止过多搬迁扰乱社会稳定；

引入“可扩展性指标”，使整院腾退方案能兼顾未来扩展开发；

考虑优先迁出小而完整的院落，提升前期腾退效率。

这个问题的建模难点在于“局部最优”与“整体连片最优”的协调。你可以先根据问题一已有的搬迁意愿模型确定每户的搬迁可行性，再逐步构造整院腾退的可能组合，用优化算法寻找最优匹配路径。

4.1.3问题1样例代码（仅供参考）

代码比较长，放在压缩包里面的

importpandasaspd

importnumpyasnp

读取数据

data=pd.read_excel(r'\妈妈杯\问题一\附件一：老城街区地块信息.xlsx')

只分析有住户的数据

data=data[data['是否有住户']==1].copy()

面积补偿比例

data['面积补偿比例']=1+(data['院落面积'].max()data['院落面积'])/

(data['院落面积'].max()data['院落面积'].min())*0.3

采光等级

data['采光等级']=data['地块方位'].map({'南':4, '北':4, '东':3, '西':2})

修缮投入

data['修缮投入']=5+(data['地块面积']data['地块面积'].min())/(data['

地块面积'].max()data['地块面积'].min())*15

到街道距离

data['到街道距离']=80(data['地块面积']data['地块面积'].min())/

(data['地块面积'].max()data['地块面积'].min())*70

房屋密集度

data['房屋密集度']=10(data['院落面积']data['院落面积'].min())/

(data['院落面积'].max()data['院落面积'].min())*9

标准化函数

defnormalize(series,reverse=False):

ifreverse:

return(series.max()series)/(series.max()series.min())

else:

4.2.3问题2样例代码（仅供参考）

代码比较长，放在压缩包中

import pandas as pd

import pulp as pl

加载数据

data=pd.read_excel(r'\妈妈杯\问题一\附件一：老城街区地块信息.xlsx')

residents=data[data['是否有住户']==1]

vacants=data[data['是否有住户']==0]

初始化模型

model=pl.LpProblem("Maximize_Vacant_Yards",pl.LpMaximize)

决策变量定义

X=pl.LpVariable.dicts("move",

[(i, j)fori inresidents['地块ID'] forj in

vacants['地块ID']],

cat='Binary')

Y=pl.LpVariable.dicts("vacant_yard",

data['院落ID'].unique(),cat='Binary')

参数设定

move_cost=3 沟通成本

repair_cost=20 修缮成本上限万元

area_rent=15 平均租金

目标函数

model+=pl.lpSum(data[data['院落ID']==k]['地块面积'].sum()*Y[k] for

kinY),"Maximize_Total_Yard_Area"

约束条件:

每个居民最多搬迁一次

fori inresidents['地块ID']:

model+=pl.lpSum(X[i, j] forj invacants['地块ID'])<=1

每个空地块最多接纳一个居民

forj invacants['地块ID']: