投篮命中率的数学模型

摘要

随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因

素导致投篮命中率大大降低。根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角

度和出手速度。本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型

,

从篮球投射

时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角

之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出

手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下

,

确定投篮的最佳出手角度和最佳出

手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结

合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。其次，本文建立

了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式

的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。在求解过程中，

本文使用了

MathType

数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，

借此列出了各组公式，

同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即

在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手

角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。

最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分

别限制在一定的范围内。出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较

高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗

的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心

30

度、

45

度、

90

度(罚球线)位

置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。当运动员所站

的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少

都影响了投篮的命中率。

关键词：命中率、出手角度、出手速度、投篮出手点、篮框中心、

MathType

数学软

件