一、概率论基础

1.1 概率论基础

1.1.1、概率论与数理统计定义

我们知道，自然界中的现象可化为为如下两类：

• 确定性现象：条件完全决定结果，比如太阳东升西落
• 随机性现象：条件不完全决定结果（可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言），比如明天是否下雨

进一步，什么是概率论与数理统计呢？简而言之，二者都是对随机性现象进行研究的数学工具，具体来说如下：

• 随机性现象：具有不确定性与统计规律性
• 概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学
• 数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理

1.1.2、随机试验定义

定义：在概率论中，将具有下述三个特点的试验称为随机试验，简称试验。随机试验常用E表示。

• 试验的可重复性——在相同条件下可重复进行
• 一次试验结果的随机性——一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现
• 全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的，且每次试验有且仅有一个结果出现

例如：
$E_1$抛一枚硬币，观察正面$H$、反面$T$出现的情况
$E_2$掷一颗骰子，观察出现的点数

1.1.3 样本空间与样本点的定义

• 样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验$E$的样本空间,记为$\Omega$
• 样本点：试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验$E$的一个样本点,记为$\omega$。

例如：
$E_1$：抛一枚硬币，观察正面$H$、反面$T$出现的情况； Ω 1 = { H , T } \Omega_1=\{H,T\} Ω1​={H,T}
$E_2$：掷一颗骰子，观察出现的点数情况； Ω 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } \Omega_2=\{1,2,3,4,5,6\} Ω2​={1,2,3,4,5,6}

1.2 事件与概率

1.2.1 随机事件/基本事件/复合事件定义

• 随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件，简称为事件，记作$A,B,C$等

例如，在试验$E_2$中，令$A$表示为"出现奇数点"，$A$就是一个随机事件。

• 基本事件：仅包含一个样本点$\omega$的随机事件，即单点子集 { ω } \{\omega\} {ω}
• 复合事件：包含两个或两个以上样本的事件

1.2.2 事件的性质和运算

事件的本质是集合，而集合的一切性质和运算都适用于事件。

1.2.3 频率与概率定义

• 频率：在相同的条件下，进行了$n$次试验，在这$n$次试验中，事件$A$发生的次数$n_A$，称为事件$A$发生的频数。比值$\frac{n_A}{n}$称为事件A发生的频率，并记成$f_n(A)$
• 概率：在相同的条件下进行$n$次重复试验，当$n$趋于无穷大时，事件$A$发生的频率$f_n(A)$稳定于某个确定的常数$p$，称此常数$p$为事件$A$发生的概率，记作$P(A)=p$

注：上述概率定义属于频率学派定义，实际上学术界有两种观点，一种是频率学派，一种是贝叶斯学派。

1.2.4 概率的性质

• 性质1、$0\le P(A)\le 1,P(\varphi )=0$ （任何一个事件概率介于0到1之间，空事件概率为0）
• 性质2、$P(\bar{A})=1-P(A)$（互补性，任何事件的补事件概率=$1-$这个事件的概率）
• 性质3、$P(A-B)=P(A)-P(AB)$
• 性质4、对于任意事件$A,B$，有$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$（加法公式）

例题

例1、设$A,B$为两个随机事件，$P(A)=0.5$，$P(AB)=0.8$，$P(A\cup B)=0.3$，求$P(B)$

答：
$\because P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
$\therefore P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6$

1.3 古典概型与几何概型（最简单的概率分布）

1.3.1 古典概型和几何概型的定义

• 古典概型：理论上，具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型（或等可能概型):
  • 有限性：基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点
  • 等可能性：每个基本事件发生的可能性相同

把有限个样本点推广到无限个样本点的场合，人们引入了几何概型，由此形成了确定概率的另一方法——几何方法

• 几何概型：若对于一随机试验，具有下面三个特点的概率模型，称为几何概型：
  • 每个样本点出现是等可能的
  • 样本空间$\Omega$所含的样本点个数为无穷多个
  • 具有非零的，有限的几何度量，即$0<m(\Omega )<\infty$

1.3.2 古典概型和几何概型的计算公式

• 古典概型的概率计算公式如下：
  • 设事件$A$中所含样本点个数为$r$，样本空间$\Omega$中样本点总数为$n$，则有：$$P(A)=\frac{r}{n}=\frac{A中样本点数}{\Omega 中样本点总数}=\frac{A所包含的基本事件数}{基本事件总数}$$
• 几何概型的概率计算公式如下：
  • 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为：$$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}$$ 其中，$m(\Omega )$是样本空间的度量，$m(A)$是构成事件$A$的子区域的度量

例题

例1：从1,2,….9这9个数字中任意取一个数，取后放回，而后再取一数，试求取出的两个数字不同的概率。

答：基本事件总数$n=9^2$，因为第一次取数有$9$种可能取法，这是可重复排列问题。设$A$表示“取出的两个数字不同”。$A$包含的基本事件数$9\ast 8$:因为第一次取数有$9$中可能取法，为保证两个数不同，第二次取数应从另外的$8$个数中选取，有$8$中可能取法，$r=9\ast 8$，故$P(A)=\frac{r}{n}=\frac{9\ast 8}{9^2}=\frac{8}{9}$

二、条件概率

2.1 条件概率

2.1.1 前置定义

在学习条件概率定义之前，我们先介绍以下几个定义：

• 相互独立：事件$A$发生对事件$B$发生的概率没有影响，则称两事件是相互独立。
• 和事件：事件$A$与$B$至少有一个发生的事件叫做$A$与$B$的和事件，记为$A\cup B$或$A+B$
• 积事件：事件$A$与$B$都发生的事件叫做$A$与$B$的积事件，记为$A\cap B$或$AB$
• 互斥：若$AB$为不可能事件，则说事件$A$与$B$互斥

2.1.2 条件概率定义

• 一般地，设$A$、$B$为两个事件，且$P(A)>0$，称：$$P（B|A）=\frac{P(AB)}{P(A)}$$为在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的条件概率$P(B|A)$，读作：$A$发生的条件下，$B$的概率

2.1.3 条件概率的几何意义

$P(B|A)$相当于把$A$看作新的基本事件，求$A\cap B$发生的概率，如下图：

• $0\le P(B|A)\le 1$
• 可加性：如果$B$和$C$互斥，那么$P[(BUC)|A]=P(B|A)+P(C|A)$

2.1.4 乘法公式

• 乘法公式：
  • 若$P(B)>0$，由条件概率定义，可得：$$P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)$$ 上式成为条件事件的乘法公式。此外，若$A$、$B$事件相互独立，那么$P(AB)=P(A)P(B)$
• 条件概率下的链式法则：
  • 前一个公式可以推广到设$A_1,A_2,A_3,...,A_n$为任意$n$个独立事件，且 $P(A_1{A}_2\dots A_n)>0$，则$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)...P(A_n|A_1{A}_2..A_{n-1})$那么我们称这个公式是条件概率下的链式法则

2.2 全概率公式

2.2.1 排列与组合

三、概率分布与统计量

3.1 概率分布类型

3.2 期望与方差

3.3 高斯分布

四、概率分布进阶

4.1 分布函数

4.2 均匀分布

4.3 指数分布

五、联合分布

5.1 二维随机变量及联合概率分布

5.2 边缘概率

六、主成分分析法

6.1 多维分布与协方差

6.2 主成分分析法