TDOA-GDOP计算
TDOA-GDOP计算背景TDOA定位是一种利用时间差进行定位的方法。通过测量信号到达监测站的时间，可以确定信号源的距离。利用信号源到各个监测站的距离(以监测站为中心，距离为半径作圆)，就能确定信号的位置。一个目标点：E(x,y,z)E(x,y,z)E(x,y,z)四个测向站：S0(x0,y0,z0),S1(x1,y1,z1),S2(x2,y2,z2),S3(x3,y3,z3),S_0(x_0,y
TDOA-GDOP计算
背景
TDOA定位是一种利用时间差进行定位的方法。通过测量信号到达监测站的时间，可以确定信号源的距离。利用信号源到各个监测站的距离(以监测站为中心，距离为半径作圆)，就能确定信号的位置。
一个目标点：E(x,y,z)E(x,y,z)E(x,y,z)
四个测向站：S0(x0,y0,z0),S1(x1,y1,z1),S2(x2,y2,z2),S3(x3,y3,z3),S_0(x_0,y_0,z_0),S_1(x_1,y_1,z_1),S_2(x_2,y_2,z_2),S_3(x_3,y_3,z_3),S0(x0,y0,z0),S1(x1,y1,z1),S2(x2,y2,z2),S3(x3,y3,z3),
（设定S0S_0S0站点为主站）
基本参数计算
各测向站与目标点的距离：
ri=(x−xi)2+(y−yi)2+(z−zi)2i=0,1,2,3 r_i=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2} \quad \quad i=0,1,2,3 ri=(x−xi)2+(y−yi)2+(z−zi)2i=0,1,2,3
各测向站与主站的距离：
△ri=ri−r0=c∗△tii=1,2,3 \triangle r_i=r_i-r_0=c*\triangle t_i \quad \quad i =1,2,3 △ri=ri−r0=c∗△tii=1,2,3
(△ti\triangle t_i△ti表示在接收信号过程中第iii个测向站与主站的接收的时间差，ccc为光速)
误差分析
假设目标定位误差为：(dx,dy,dz)(dx,dy,dz)(dx,dy,dz)
各站点的测量误差为：(dxi,dyi,dzi)i=0,1,2,3(dx_i,dy_i,dz_i) \quad i=0,1,2,3(dxi,dyi,dzi)i=0,1,2,3
(上述各分量之间不相关)
根据误差传递原理：△ri=ri−r0i=1,2,3\triangle r_i=r_i-r_0\quad i=1,2,3△ri=ri−r0i=1,2,3
等式两边同时微分：
d△ri=(Fix−F0x)dx+(Fiy−F0y)dy+(Fiz−F0z)dz+(k0−ki)i=1,2,3 d\triangle r_i=(F_{ix}-F_{0x})dx+(F_{iy}-F_{0y})dy+(F_{iz}-F_{0z})dz+(k_0-k_i) \quad i=1,2,3 d△ri=(Fix−F0x)dx+(Fiy−F0y)dy+(Fiz−F0z)dz+(k0−ki)i=1,2,3
{Fix=∂ri∂x=−∂ri∂xi=x−xiriFiy=∂ri∂y=−∂ri∂yi=y−yiriFiz=∂ri∂z=−∂ri∂zi=z−ziriki=Fixdxi+Fiydyi+Fizdzii=1,2,3 \begin{cases} F_{ix}=\frac{\partial r_i}{\partial x}=-\frac{\partial r_i}{\partial x_i}=\frac{x-x_i}{r_i} \\ F_{iy}=\frac{\partial r_i}{\partial y}=-\frac{\partial r_i}{\partial y_i}=\frac{y-y_i}{r_i} \\ F_{iz}=\frac{\partial r_i}{\partial z}=-\frac{\partial r_i}{\partial z_i}=\frac{z-z_i}{r_i} \\ k_i=F_{ix}dx_i + F_{iy}dy_i + F_{iz}dz_i \end{cases} \quad \quad \quad i = 1,2,3 ⎩ ⎨ ⎧Fix=∂x∂ri=−∂xi∂ri=rix−xiFiy=∂y∂ri=−∂yi∂ri=riy−yiFiz=∂z∂ri=−∂zi∂ri=riz−ziki=Fixdxi+Fiydyi+Fizdzii=1,2,3
故F\boldsymbol{F}F矩阵如下：
F=[x−x1r1−x−x0r0y−y1r1−y−y0r0z−z1r1−z−z0r0x−x2r2−x−x0r0y−y2r2−y−y0r0z−z2r2−z−z0r0x−x3r3−x−x0r0y−y3r3−y−y0r0z−z3r3−z−z0r0] \boldsymbol{F} = \begin{bmatrix} \frac{x-x_1}{r_1}-\frac{x-x_0}{r_0} & \frac{y-y_1}{r_1}-\frac{y-y_0}{r_0} &\frac{z-z_1}{r_1}-\frac{z-z_0}{r_0}\\ \frac{x-x_2}{r_2}-\frac{x-x_0}{r_0} & \frac{y-y_2}{r_2}-\frac{y-y_0}{r_0} &\frac{z-z_2}{r_2}-\frac{z-z_0}{r_0}\\ \frac{x-x_3}{r_3}-\frac{x-x_0}{r_0} & \frac{y-y_3}{r_3}-\frac{y-y_0}{r_0} &\frac{z-z_3}{r_3}-\frac{z-z_0}{r_0}\\ \end{bmatrix} F=
r1x−x1−r0x−x0r2x−x2−r0x−x0r3x−x3−r0x−x0r1y−y1−r0y−y0r2y−y2−r0y−y0r3y−y3−r0y−y0r1z−z1−r0z−z0r2z−z2−r0z−z0r3z−z3−r0z−z0
将同时微分的结果表示为矩阵形式：
d△r=F⋅dr+dS \boldsymbol{d\triangle r}= \boldsymbol{F}·\boldsymbol{dr}+\boldsymbol{dS} d△r=F⋅dr+dS
d△r\boldsymbol{d\triangle r}d△r表示TDOA估计引入的误差，同时联立（2）式：
d△r=[d△r1d△r2d△r3]=[c∗d(t1−t0)c∗d(t2−t0)c∗d(t3−t0)] \boldsymbol{d\triangle r}= \begin{bmatrix} d \triangle r_1 \\ d \triangle r_2 \\ d \triangle r_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c*d(t_1-t_0) \\ c*d(t_2-t_0) \\ c*d(t_3-t_0) \\ \end{bmatrix} d△r=
d△r1d△r2d△r3
=
c∗d(t1−t0)c∗d(t2−t0)c∗d(t3−t0)
dr\boldsymbol{dr}dr表示待求目标点的定位误差：
dr=[dxdydz] \boldsymbol{dr}= \begin{bmatrix} d x \\ d y \\ d z \\ \end{bmatrix} dr=
dxdydz
dS=[k0−k1k0−k2k0−k3] \boldsymbol{dS}= \begin{bmatrix} k_0-k_1 \\ k_0-k_2 \\ k_0-k_3 \\ \end{bmatrix} dS=
k0−k1k0−k2k0−k3
进一步求解
求解目标：目标点定位误差dr\boldsymbol{dr}dr
利用伪逆法：
dr=(FFT)−1FT(d△r−dS) \boldsymbol{dr} = (\boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T)^{-1}\boldsymbol{F}^T(\boldsymbol{d\triangle r}-\boldsymbol{dS}) dr=(FFT)−1FT(d△r−dS)
由此可知，目标辐射源的定位误差与站址布局方式、接收站站址误差以及时差估计误差有关。由TDOA的公式可知：各TDOA估计都和主站相关，也就是说TDOA估计中含有相同的误差信息，因此可得出结论：测量误差在△ri\triangle r _i△ri处的值是彼此相关的。现假设修正后的测量误差为零均值，且站址误差为恒定值，而其各误差矢量之间以及矢量各元素之间均不相关。在该情况下，定位误差的协方差矩阵可写成如下形式：
Pdr=E[dr⋅drT] \boldsymbol{P_{dr}} = E[\boldsymbol{dr}·{\boldsymbol{dr}}^T] Pdr=E[dr⋅drT]
令C=(FFT)−1FT=(cij)3∗3\boldsymbol{C} = (\boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T)^{-1}\boldsymbol{F}^T=(c_{ij})_{3*3}C=(FFT)−1FT=(cij)3∗3，因此公式可化为：
Pdr=E[dr⋅drT]=C{E[d△r⋅d△rT]+E[dS⋅dST]}CT \boldsymbol{P_{dr}} = E[\boldsymbol{dr}·{\boldsymbol{dr}}^T] = \boldsymbol{C}\{ E[\boldsymbol{d\triangle r} · \boldsymbol{{d\triangle r}}^T]+E[\boldsymbol{dS}·{\boldsymbol{dS}}^T]\}\boldsymbol{C}^T Pdr=E[dr⋅drT]=C{E[d△r⋅d△rT]+E[dS⋅dST]}CT
其中：
E[d△r⋅d△rT]=[σ△r12η12σ△r1△r2η13σ△r1△r3η12σ△r1△r2σ△r22η23σ△r2△r3η13σ△r1△r3η23σ△r2△r3σ△r32] E[\boldsymbol{d\triangle r} · \boldsymbol{{d\triangle r}}^T]=\begin{bmatrix} {\sigma^2_{\triangle r_1}} & \eta_{12} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_2} & \eta_{13} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_3} \\ \eta_{12} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_2} &{\sigma^2_{\triangle r_2}} & \eta_{23} \sigma_{\triangle r_2 \triangle r_3} \\ \eta_{13} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_3} & \eta_{23} \sigma_{\triangle r_2 \triangle r_3}&{\sigma^2_{\triangle r_3}} \\ \end{bmatrix} E[d△r⋅d△rT]=
σ△r12η12σ△r1△r2η13σ△r1△r3η12σ△r1△r2σ△r22η23σ△r2△r3η13σ△r1△r3η23σ△r2△r3σ△r32
本质上而言，σ△ri\sigma_{\triangle r_i}σ△ri是测量误差△ri\triangle r_i△ri的标准差，参考（2）实质上就是对时间测量的误差，即：
E[d△r⋅d△rT]=c2∗[σ△t12η12σ△t1△t2η13σ△t1△t3η12σ△t1△t2σ△t22η23σ△t2△t3η13σ△t1△t3η23σ△t2△t3σ△t32] E[\boldsymbol{d\triangle r} · \boldsymbol{{d\triangle r}}^T]=c^2*\begin{bmatrix} {\sigma^2_{\triangle t_1}} & \eta_{12} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_2} & \eta_{13} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_3} \\ \eta_{12} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_2} &{\sigma^2_{\triangle t_2}} & \eta_{23} \sigma_{\triangle t_2 \triangle t_3} \\ \eta_{13} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_3} & \eta_{23} \sigma_{\triangle t_2 \triangle t_3}&{\sigma^2_{\triangle t_3}} \\ \end{bmatrix} E[d△r⋅d△rT]=c2∗
σ△t12η12σ△t1△t2η13σ△t1△t3η12σ△t1△t2σ△t22η23σ△t2△t3η13σ△t1△t3η23σ△t2△t3σ△t32
令：
E[dS⋅dST]=[k0−k1k0−k2k0−k3]∗[k0−k1k0−k2k0−k3] E[\boldsymbol{dS}·{\boldsymbol{dS}}^T]=\begin{bmatrix} k_0-k_1 \\ k_0-k_2 \\ k_0-k_3 \\ \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} k_0-k_1 \quad k_0-k_2 \quad k_0-k_3 \end{bmatrix} E[dS⋅dST]=
k0−k1k0−k2k0−k3
∗[k0−k1k0−k2k0−k3]
对上述公式（13）-（15）的部分变量进行注解：
σ△ri\sigma_{\triangle r_i}σ△ri：是测量误差△ri\triangle r_i△ri的标准差
ηij\eta_{ij}ηij：是△ri\triangle r_i△ri和△rj\triangle r_j△rj的相关系数（或者描述△ti\triangle t_i△ti和△tj\triangle t_j△tj），计算公式如下：
ηij=cov(△ri,△rj)σ△ri⋅σ△rj=cov(△ti,△tj)σ△ti⋅σ△tj \eta_{ij} = \frac{cov(\triangle r_i,\triangle r_j)}{\sigma_{\triangle r_i}·\sigma_{\triangle r_j}}= \frac{cov(\triangle t_i,\triangle t_j)}{\sigma_{\triangle t_i}·\sigma_{\triangle t_j}} ηij=σ△ri⋅σ△rjcov(△ri,△rj)=σ△ti⋅σ△tjcov(△ti,△tj)
得出答案(各个站各个分量标准差是一致的情况)
假设各测向站在各个分量上的标准差大小一样，故设：
σxi2=σyi2=σzi2=σs2i=0,1,2,3 \sigma^2_{x_i} = \sigma^2_{y_i} = \sigma^2_{z_i} = \sigma^2_{s} \quad \quad i=0,1,2,3 σxi2=σyi2=σzi2=σs2i=0,1,2,3
同时由于之前的推导，可以得知：
Fix2+Fiy2+Fiz2=1i=0,1,2,3 F_{ix}^2 + F_{iy}^2 + F_{iz}^2=1 \quad \quad i=0,1,2,3 Fix2+Fiy2+Fiz2=1i=0,1,2,3
即：
E[dS⋅dST]=[2σs2σs2σs2σs22σs2σs2σs2σs22σs2] E[\boldsymbol{dS}·{\boldsymbol{dS}}^T]=\begin{bmatrix} 2\sigma^2_s & \sigma^2_s & \sigma^2_s\\ \sigma^2_s & 2\sigma^2_s & \sigma^2_s\\ \sigma^2_s & \sigma^2_s & 2\sigma^2_s\\ \end{bmatrix} E[dS⋅dST]=
2σs2σs2σs2σs22σs2σs2σs2σs22σs2
设
E[d△r⋅d△rT]+E[dS⋅dST]=(αij)3∗3 E[\boldsymbol{d\triangle r} · \boldsymbol{{d\triangle r}}^T]+E[\boldsymbol{dS}·{\boldsymbol{dS}}^T] = (\alpha_{ij})_{3*3} E[d△r⋅d△rT]+E[dS⋅dST]=(αij)3∗3
即：
αij={c2∗σ△ti2+2∗σs2i=jc2∗ηijσ△ri△rj+σs2i≠j \alpha_{ij}= \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} c^2*\sigma^2_{\triangle t_i}+2*\sigma^2_s \quad i=j \\ c^2*\eta_{ij} \sigma_{\triangle r_i \triangle r_j}+\sigma^2_s \quad i \neq j \end{array} \right. \end{equation} αij={c2∗σ△ti2+2∗σs2i=jc2∗ηijσ△ri△rj+σs2i=j
联立上述式子：
Pdr=C{E[d△r⋅d△rT]+E[dS⋅dST]}CT=C[σ△r12+2σs2η12σ△r1△r2+σs2η13σ△r1△r3+σs2η12σ△r1△r2+σs2σ△r22+2σs2η23σ△r2△r3+σs2η13σ△r1△r3+σs2η23σ△r2△r3+σs2σ△r32+2σs2]CT \boldsymbol{P_{dr}} = \boldsymbol{C}\{ E[\boldsymbol{d\triangle r} · \boldsymbol{{d\triangle r}}^T]+E[\boldsymbol{dS}·{\boldsymbol{dS}}^T]\}\boldsymbol{C}^T\\ =\boldsymbol{C} \begin{bmatrix} {\sigma^2_{\triangle r_1}}+2\sigma^2_s & \eta_{12} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_2}+\sigma^2_s & \eta_{13} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_3}+\sigma^2_s \\ \eta_{12} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_2}+\sigma^2_s &{\sigma^2_{\triangle r_2}}+2\sigma^2_s & \eta_{23} \sigma_{\triangle r_2 \triangle r_3}+\sigma^2_s \\ \eta_{13} \sigma_{\triangle r_1 \triangle r_3}+\sigma^2_s & \eta_{23} \sigma_{\triangle r_2 \triangle r_3}+\sigma^2_s&{\sigma^2_{\triangle r_3}}+2\sigma^2_s \\ \end{bmatrix}\boldsymbol{C}^T Pdr=C{E[d△r⋅d△rT]+E[dS⋅dST]}CT=C
σ△r12+2σs2η12σ△r1△r2+σs2η13σ△r1△r3+σs2η12σ△r1△r2+σs2σ△r22+2σs2η23σ△r2△r3+σs2η13σ△r1△r3+σs2η23σ△r2△r3+σs2σ△r32+2σs2
CT
=C[c2∗σ△t12+2σs2c2∗η12σ△t1△t2+σs2c2∗η13σ△t1△t3+σs2c2∗η12σ△t1△t2+σs2c2∗σ△t22+2σs2c2∗η23σ△t2△t3+σs2c2∗η13σ△t1△t3+σs2c2∗η23σ△t2△t3+σs2c2∗σ△t32+2σs2]CT= \boldsymbol{C} \begin{bmatrix} {c^2*\sigma^2_{\triangle t_1}}+2\sigma^2_s & c^2*\eta_{12} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_2}+\sigma^2_s & c^2*\eta_{13} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_3}+\sigma^2_s \\ c^2*\eta_{12} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_2}+\sigma^2_s &c^2*{\sigma^2_{\triangle t_2}}+2\sigma^2_s & c^2*\eta_{23} \sigma_{\triangle t_2 \triangle t_3}+\sigma^2_s \\ c^2*\eta_{13} \sigma_{\triangle t_1 \triangle t_3}+\sigma^2_s & c^2*\eta_{23} \sigma_{\triangle t_2 \triangle t_3}+\sigma^2_s&c^2*{\sigma^2_{\triangle t_3}}+2\sigma^2_s \\ \end{bmatrix} \boldsymbol{C}^T =C
c2∗σ△t12+2σs2c2∗η12σ△t1△t2+σs2c2∗η13σ△t1△t3+σs2c2∗η12σ△t1△t2+σs2c2∗σ△t22+2σs2c2∗η23σ△t2△t3+σs2c2∗η13σ△t1△t3+σs2c2∗η23σ△t2△t3+σs2c2∗σ△t32+2σs2
CT
最终的求解结果：
GDOP=trace(Pdr) \boldsymbol{GDOP} = \sqrt{trace(\boldsymbol{P_{dr}})} GDOP=trace(Pdr)
得出答案(各个站各个分量标准差不一致的情况)
E[dS⋅dST]=[k0−k1k0−k2k0−k3]∗[k0−k1k0−k2k0−k3] E[\boldsymbol{dS}·{\boldsymbol{dS}}^T]=\begin{bmatrix} k_0-k_1 \\ k_0-k_2 \\ k_0-k_3 \\ \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} k_0-k_1 \quad k_0-k_2 \quad k_0-k_3 \end{bmatrix} \\ E[dS⋅dST]=
k0−k1k0−k2k0−k3
∗[k0−k1k0−k2k0−k3]
=[(k0−k1)2(k0−k1)(k0−k2)(k0−k1)(k0−k3)(k0−k1)(k0−k2)(k0−k2)2(k0−k2)(k0−k3)(k0−k1)(k0−k3)(k0−k2)(k0−k3)(k0−k3)2]= \begin{bmatrix} (k_0-k_1)^2 & (k_0-k_1)(k_0-k_2) & (k_0-k_1)(k_0-k_3)\\ (k_0-k_1)(k_0-k_2) & (k_0-k_2)^2 & (k_0-k_2)(k_0-k_3)\\ (k_0-k_1)(k_0-k_3) & (k_0-k_2)(k_0-k_3) & (k_0-k_3)^2\\ \end{bmatrix} =
(k0−k1)2(k0−k1)(k0−k2)(k0−k1)(k0−k3)(k0−k1)(k0−k2)(k0−k2)2(k0−k2)(k0−k3)(k0−k1)(k0−k3)(k0−k2)(k0−k3)(k0−k3)2
但是那个情况是各站点本身的位置的误差，一般不进行讨论。
DAMO开发者矩阵，由阿里巴巴达摩院和中国互联网协会联合发起，致力于探讨最前沿的技术趋势与应用成果，搭建高质量的交流与分享平台，推动技术创新与产业应用链接，围绕“人工智能与新型计算”构建开放共享的开发者生态。
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