一、理论基础

1. 旋转矩阵

旋转矩阵通常是一个3x3矩阵，表示物体的旋转变换。一个标准的旋转矩阵 ( R ) 如下：

$$R=\left(\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right)$$

2. 四元数的定义

四元数的形式为 ( q = (w, x, y, z) )，其中：

• ( w ) 是实部，
• ( x, y, z ) 是虚部。

四元数 ( q ) 和旋转矩阵 ( R ) 之间的关系可以通过以下公式进行转换。

3. 姿态矩阵转四元数公式

根据旋转矩阵 ( R ) 的迹（trace），可以选择不同的公式来计算四元数。

(1) 如果矩阵的迹 $\text{trace}(R)>0$：

矩阵的迹是对角线元素之和：

$$\text{trace}(R)=r_{11}+r_{22}+r_{33}$$

在这种情况下，四元数可以通过以下公式计算：

$$S=2\times \sqrt{\text{trace}(R)+1}$$

$$w=0.25\times S$$
$$x=\frac{r_{32}-r_{23}}{S}$$
$$y=\frac{r_{13}-r_{31}}{S}$$
$$z=\frac{r_{21}-r_{12}}{S}$$

(2) 如果矩阵的迹 $\text{trace}(R)\le 0$：

需要根据不同的矩阵元素选择最大对角线元素，选择不同的公式进行计算。

• 如果 $r_{11}$ 是最大值：
  $$S=2\times \sqrt{1+r_{11}-r_{22}-r_{33}}$$
  $$w=\frac{r_{32}-r_{23}}{S}$$
  $$x=0.25\times S$$
  $$y=\frac{r_{12}+r_{21}}{S}$$
  $$z=\frac{r_{13}+r_{31}}{S}$$

• 如果 $r_{22}$是最大值：
  $$S=2\times \sqrt{1+r_{22}-r_{11}-r_{33}}$$
  $$w=\frac{r_{13}-r_{31}}{S}$$
  $$x=\frac{r_{12}+r_{21}}{S}$$
  $$y=0.25\times S$$
  $$z=\frac{r_{23}+r_{32}}{S}$$

• 如果$(r_{33}$是最大值：
  $$S=2\times \sqrt{1+r_{33}-r_{11}-r_{22}}$$
  $$w=\frac{r_{21}-r_{12}}{S}$$
  $$x=\frac{r_{13}+r_{31}}{S}$$
  $$y=\frac{r_{23}+r_{32}}{S}$$
  $$z=0.25\times S$$

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二、C++程序实现

根据第一部分理论基础的介绍，很容易可以写出对应的C++程序，我写的一个示例如下所示，其中matrixToQuaternion函数接收一个3x3旋转矩阵，利用上面介绍的四元数和旋转矩阵之间的数学公式，计算并返回对应的四元数。 printQuaternion函数用于将四元数的值输出到终端。

#include <iostream>
#include <cmath>

struct Quaternion {
    double w, x, y, z;
};

// 旋转矩阵转换为四元数的函数
Quaternion matrixToQuaternion(double R[3][3]) {
    Quaternion q;
    double trace = R[0][0] + R[1][1] + R[2][2]; // 矩阵的迹

    if (trace > 0.0) {
        double s = 0.5 / sqrt(trace + 1.0);
        q.w = 0.25 / s;
        q.x = (R[2][1] - R[1][2]) * s;
        q.y = (R[0][2] - R[2][0]) * s;
        q.z = (R[1][0] - R[0][1]) * s;
    } else {
        if (R[0][0] > R[1][1] && R[0][0] > R[2][2]) {
            double s = 2.0 * sqrt(1.0 + R[0][0] - R[1][1] - R[2][2]);
            q.w = (R[2][1] - R[1][2]) / s;
            q.x = 0.25 * s;
            q.y = (R[0][1] + R[1][0]) / s;
            q.z = (R[0][2] + R[2][0]) / s;
        } else if (R[1][1] > R[2][2]) {
            double s = 2.0 * sqrt(1.0 + R[1][1] - R[0][0] - R[2][2]);
            q.w = (R[0][2] - R[2][0]) / s;
            q.x = (R[0][1] + R[1][0]) / s;
            q.y = 0.25 * s;
            q.z = (R[1][2] + R[2][1]) / s;
        } else {
            double s = 2.0 * sqrt(1.0 + R[2][2] - R[0][0] - R[1][1]);
            q.w = (R[1][0] - R[0][1]) / s;
            q.x = (R[0][2] + R[2][0]) / s;
            q.y = (R[1][2] + R[2][1]) / s;
            q.z = 0.25 * s;
        }
    }

    return q;
}

// 打印四元数的函数
void printQuaternion(const Quaternion &q) {
    std::cout << "Quaternion: (x = " << q.x << ", y = " << q.y << ", z = " << q.z << ", w = " << q.w << ", )\n";
}

int main() {
    // 设定旋转矩阵
    double R[3][3] = {
        -0.8545994, -0.5192878,  0.0000000,
        -0.5192878,  0.8545994,  0.0000000,
         0.0000000,  0.0000000, -1.0000000
    };

    // 将旋转矩阵转换为四元数
    Quaternion q = matrixToQuaternion(R);

    // 打印四元数
    printQuaternion(q);

    return 0;
}

编译和运行：

1. 将以上代码保存到一个文件，例如 matrix_to_quaternion.cpp

2. 然后在终端执行以下指令编译该程序（文件名自行修改）：

   g++ matrix_to_quaternion.cpp -o matrix_to_quaternion
   

3. 编译成功后，使用以下指令运行程序：

   ./matrix_to_quaternion
   

4. 上述程序中提供的旋转矩阵示例，运行输出的对应的四元数如下所示：

Quaternion: (x = -0.26963, y = 0.962964, z = 0, w = 0, )