1.雅克比矩阵的理论部分

2.机器人逆运动学

材料来源于：https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/5948659.html
引用请备注上材料的来源者：https://www.cnblogs.com/21207-iHome/p/5948659.html

2.1机器人运动学公式

参考挖掘机VOLVO walker excavator：

机器人末端有４个自由度x,y,z和shovel的翻斗,$P_x,P_y,P_z,{\theta }_{shovel}$；
关节有５个自由度$\psi ,{\theta }_1,{\theta }_2,x_{tele},{\theta }_3$；
$$\left[\begin{array}{c}{P}_x\\ P_y\\ P_z\\ {\theta }_{shovel}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(\psi ,{\theta }_1,{\theta }_2,x_{tele},{\theta }_3)\\ f_2(\psi ,{\theta }_1,{\theta }_2,x_{tele},{\theta }_3)\\ f_3(\psi ,{\theta }_1,{\theta }_2,x_{tele},{\theta }_3)\\ f_4(\psi ,{\theta }_1,{\theta }_2,x_{tele},{\theta }_3)\end{array}\right]$$
对上述公式进行微分：
$$\left[\begin{array}{c}\delta P_x\\ \delta P_y\\ \delta P_z\\ \delta {\theta }_{shovel}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\delta \frac{f_1}{\psi }\psi +\delta \frac{f_1}{{\theta }_1}{\theta }_1+\delta \frac{f_1}{{\theta }_2}{\theta }_2+\delta \frac{f_1}{x_{tele}}{x}_{tele}+\delta \frac{f_1}{{\theta }_3}{\theta }_3\\ \delta \frac{f_2}{\psi }\psi +\delta \frac{f_2}{{\theta }_1}{\theta }_1+\delta \frac{f_2}{{\theta }_2}{\theta }_2+\delta \frac{f_2}{x_{tele}}{x}_{tele}+\delta \frac{f_2}{{\theta }_3}{\theta }_3\\ \delta \frac{f_3}{\psi }\psi +\delta \frac{f_3}{{\theta }_1}{\theta }_1+\delta \frac{f_3}{{\theta }_2}{\theta }_2+\delta \frac{f_{\mathrm{３}}}{x_{tele}}{x}_{tele}+\delta \frac{f_{\mathrm{３}}}{{\theta }_3}{\theta }_3\\ \delta \frac{f_{\mathrm{４}}}{\psi }\psi +\delta \frac{f_{\mathrm{４}}}{{\theta }_1}{\theta }_1+\delta \frac{f_{\mathrm{４}}}{{\theta }_2}{\theta }_2+\delta \frac{f_{\mathrm{４}}}{x_{tele}}{x}_{tele}+\delta \frac{f_{\mathrm{４}}}{{\theta }_3}{\theta }_3\end{array}\right]$$
通用化表示为：
$$\dot{Y}=J(X)\dot{X}$$
J(X)是时变转换矩阵,这个公式描述关节（actuator，自变量）变化对系统（末端，因变量）的影响

2.2雅克比矩阵的求解

公式比较复杂，如果展开计算，非常要命，尤其是在５，６个自由度的工业机器人上。
雅克比矩阵可以表达成：
$$\dot{Y}=\left[\begin{array}{ccccc}{J}_1& J_2& J_3& J_4& J_5\end{array}\right]\dot{X}$$
$J_i$是驱动关节i运动对末端的影响
e.g.　一个二自由度的平面连杆机器人

分析：末端只有x,y两个自由度，如果关节L1角度发生变化，那么末端的位置变化为：
$$\dot{Y}=w_1\ast (\overrightarrow{s_e}-\overrightarrow{s_1})$$

2.3 DH方程的jacobian矩阵的求解

如果是平面连杆机械臂，用上面2.2节就可以很方便的求出来。对于空间的连杆机械臂，如果是用标准DH方程建立的，jacobain矩阵为：