计算机图形学期末速通指南（1） 图形学中的线性代数知识

目录

向量

向量的点乘

向量的叉乘

其他

矩阵

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向量

向量的点乘

1.公式：

2.方向：

三角形法则/四边形法则

3.结果：

点乘的结果是一个数

4.作用：

a.求两向量夹角

b.求投影（例如，求向量b在向量a上的投影）

c.判断两个向量是否接近

        点乘结果越接近1说明两向量越接近，点乘结果为0说明两向量垂直，点乘结果越接近-1说明两向量越远离。

d.判断方向性

        点乘结果为正数说明方向基本一致，点乘结果为负数说明方向基本相反。

向量的叉乘

1.公式：

2.方向：

右手螺旋定则（右手四指先穿过a再穿过b，大拇指所指的方向）

3.结果：

叉乘的结果是一个向量

4.性质：

叉乘没有交换律，分配律和结合律依旧存在

5.叉乘可以写成矩阵形式

6.作用：

a.建立三维空间中的直角坐标系

b.判断左右（向量a向左旋转离b更近还是向右旋转离b更近）

        这部分知识是三角形光栅化的基础，建议充分理解

        b叉乘a得到的向量朝向屏幕外，说明b在a右侧，反之，b在a左侧。

        p在三角形里，得到的结果向屏幕外，说明p在左侧，反之， 说明p在右侧

        若p同时在三个向量左边，则说明p在三向量围成的三角形内部（此时三角形三个向量是逆时针），若有一向量使得p在此向量右边，则此时p在三角形外。（想象p在ac向量右侧时）

          若p同时在三个向量右边，则说明p在三向量围成的三角形内部（此时三角形三个向量是顺时针），若有一向量使得p在此向量左边，则此时p在三角形外。

其他

1.图形学中常用单位向量表示方向而不关心长度

2.图形学中的向量默认是列向量（约定俗成）

矩阵

矩阵和矩阵的乘积

什么样的矩阵可以相乘？

        第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数时，矩阵的乘法才有意义

        

性质：

矩阵乘法没有交换律（AB!=BA），但有结合律和分配律

矩阵和向量的乘积

       列向量是n行1列的矩阵，

    （这里约定矩阵始终在左边，列向量在右边）

应用：

进行各种变换（旋转，平移，对称，缩放等）

eg：沿y轴对称（求镜像）

 矩阵的转置

1.矩阵的转置可以不太严谨地理解成将矩阵向左旋转90°，原本m行n列的矩阵转置后成为n行m列的矩阵。

eg：

 

2.  乘积的转置是先转置再相乘

3.点乘可以写成一向量和另一向量的转置的乘法