一、误差的来源和分类

误差是描述数值计算之中近似值的近似程度
误差按来源可分为：模型误差（描述误差）、观测误差（测量误差）、截断误差、舍入误差（计算误差）

1.模型误差（描述误差）：数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差。（这个误差一般来说是不可避免的）

2.观测误差（测量误差）：数学模型中的一些参数时通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。

注： 以上两种误差并不是数值分析的重点研究内容，因为不可避免。下面说的两种误差是数值分析需要关注和研究的。

3.截断误差: 例如进行taylor展开，$ln2\approx 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$，只取了前5项。这里舍去后面所产生的误差R5被称为截断误差。

4.舍入误差（计算误差）：由于计算机只能对有限位数进行运算，在运算中像 $e,\sqrt{2},\frac{1}{3}$ 等都要按舍入原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差或计算误差。

二、有效数字

设数 x 的近似值 $x^{\ast }=0.x_1{x}_2\cdots x_n\cdots \times 10^{m-n}$，其中 $x_i$ 为 $0\sim 9$ 之间的任意数，但 $x_1\ne 0,i=1,2,3,\cdots$，$m$ 为整数，若
$$|x-x^{\ast }|\le \frac{1}{2}\times 10^{m-n}$$
则称 $x^{\ast }$ 为 $x$ 的具有 $n$ 位有效数字的近似值，$x^{\ast }$ 准确到第 $n$ 位，$x_1{x}_2\cdots x_n$ 是 $x^{\ast }$ 的有效数字。
这里 $x^{\ast }$ 的位数可以是无限多位，也可以是有限位，如有 $n$ 位，数值计算中得到的近似数常常是有限位的。

例题： 以 $\frac{22}{7}$ 作为圆周率 $\pi$ 的近似值，有几位有效数字？
解 $$\begin{array}{rl}|\pi -\frac{22}{7}|& =|3.14592\cdots -3.142857\cdots |\\ & =0.001264\cdots <\frac{1}{2}\times 10^{-2}\end{array}$$
因为 $m-n=-2$，题中已知 $m=1$，所以有 $n=3$，即 $\frac{22}{7}$ 作为 $\pi$ 的近似值有 3 位有效数字。

第一个大题（非线性方程组的迭代法）

第二个大题（LU分解）

第三个大题（牛顿插值法）

第四个大题（直线拟合）