上海计算机学会 1 月月赛 丙组题解
本次比赛涉及知识点：分支、循环、递推、数学、广度优先搜索、二分查找

比赛链接：https://iai.sh.cn/contest/59

第一题：T1成绩等第

标签：分支结构
题意：给定一个整数$a$，大于等于$90$输出$A$；大于等于$80$输出$B$；大于等于$70$输出$C$；大于等于$60$输出$D$；小于$60$输出$F$。（$1<=a<100$）
题解：按题意判断输出即可
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int a;
    cin >> a;
    if (a >= 90) cout << "A";
    else if (a >= 80) cout << "B";
    else if (a >= 70) cout << "C";
    else if (a >= 60) cout << "D";
    else cout << "F";
    return 0;
}

第二题：T2星号三角阵（三）

标签：循环结构
题意：给定一个整数$n$，输出一个$n$行$n$列的星号三角阵，直角位于图形的右上角。（$1<=n<=100$）
例如$n=4$，输出

****
 ***
  **
   *

题解：按行数判断输出空格和$\ast$的数量。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (j < i) cout << " ";
            else cout << "*";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

第三题：T3三排地砖

标签：递推、数学
题意：有一条由$n\times 3$个方格组成的道路，求用$1\times 2$规格的地砖去铺，有多少种方案。（方案数可能很大，输出它对$10^9+7$取余之后的值）（$1<=n<=200000$）
题解：列一下前几项，$dp[0]=1，dp[2]=3，dp[4]=\mathrm{11...}$，能推出递推式：
$dp[i]=(dp[i-2]+2\ast (dp[0]+dp[2]+...+dp[i-2]))$
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll N = 2e5 + 10;
ll n, dp[N];

int main() {
    dp[0] = 1; dp[2] = 3;
    ll sum = 2 * (dp[0] + dp[2]);
    cin >> n;

    for (int i = 4; i <= n; i += 2) {
        dp[i] = (dp[i - 2] + sum) % mod;
        sum = (sum + 2 * dp[i]) % mod;
    }
    cout << dp[n];
    return 0;
}

或者递推式：$dp[n]=4\ast dp[n-1]-dp[n-2]（dp[0]=1,dp[1]=1）$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N = 2e5 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll n, a[N];

int main() {
    cin >> n;
    a[0] = 1; a[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        a[i] = (4 * a[i - 1] - a[i - 2] + mod) % mod;
    }
    cout << a[n / 2 + 1];
    return 0;
}

第四题：T4守序数

标签：广度优先搜索
题意：如果一个十进制正整数的任意两个相邻的数字之差均不超过$1$，则称该数字为守序数。$1$是第一个守序数，给定$n$请求出第$n$个守序数。（$1<=n<=10^6$）
题解：观察一下前几个，$1、2、\mathrm{3...9}、10、11、12$，发现其实后一位数字是前一位数字的$-1、+0、+1$情况，然后又想让一位数跑完之后再跑两位数，那其实就是一个$bfs$扩散的逻辑，第一位数为了避免$0$的情况，我们直接先塞$1、2、\mathrm{3...9}$到队列中，然后不断跑，跑到存储到数组中的数有$n$个为止。最后要输出第$n$个，我们排个序输出即可。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n, c = 0, a[1000005];
struct node {
    // pre:上一个选的数  val:目前得到的值
    ll pre, val;
}p, u;

int main() {
    queue<node> q;
    cin >> n;
    for (ll i = 1; i <= 9; i++) {
        p.pre = i; p.val = i;
        q.push(p);
    }

    while (c <= n) {
        p = q.front();
        q.pop();
        a[++c] = p.val;
        for (ll i = -1; i <= 1; i++) {
            u.pre = p.pre + i;
            u.val = p.val * 10 + u.pre;
            if (u.pre >= 0 && u.pre <= 9) q.push(u);
        }

    }

    sort(a + 1, a + 1 + c);
    cout << a[n];
    return 0;
}

第五题：T5最大的和

标签：二分查找
题意：给定两个序列$a_1,a_2,a_3,...,a_n$与$b_1,b_2,b_3,...,b_n$，请从这两个序列中分别找一个数，要求这两个数的差不超过给定的数字$d$，且这两个数字之和最大。（$1<=n<=2\ast 10^5$，$1<=d<=10^{18}$，$1<=a_i,b_i<=10^9$）
题解：我们把题目要求转化成数学式子：$a_i-b_j<=d$且$b_j-a_i<=d$，转换一下：$a_i-d<=b_j<=a_i+d$，那要求两数之和最大，我们可以枚举$a_i$，二分$b$序列，找到小于等于$a_i+d$最大的那个数，那是不是用$upper\_bound$，然后前一个就可以了。
找完之后判断一下，是不是在$[1,n]$区间，并且满足题目$a_i-d<=b_j<=a_i+d$要求。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N = 2e5 + 10;
ll n, d, a[N], b[N];

int main() {
    ll ans = -1;
    cin >> n >> d;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    sort(a + 1, a + 1 + n);
    sort(b + 1, b + 1 + n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // a[i] - d <= b[j] <= a[i] + d
        ll j = upper_bound(b + 1, b + 1 + n, a[i] + d) - b;
        j--;
        if (j < 1 || j > n) continue;
        if (b[j] >= a[i] - d && b[j] <= a[i] + d) {
            ans = max(ans, a[i] + b[j]);
        }
    }

    if (ans == -1) cout << "None";
    else cout << ans;
    return 0;
}