方差的计算公式

方差迭代计算过程推导术语约定

递推公式

过程推导

术语约定

(1)En=1n∑i=1nxi

E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \tag{1}En​=n1​i=1∑n​xi​(1)

(2)F(n)=∑i=1n(x2−En)

F(n) = \sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} \tag{2}F(n)=i=1∑n​(x2−En​)(2)

(3)V(n)=1n∑i=1n(x2−En)=F(n)n

V(n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x^2-E_n)} = \frac{F(n)}{n} \tag{3}V(n)=n1​i=1∑n​(x2−En​)=nF(n)​(3)

递推公式

F(n)=∑i=1n(xi2−En)=∑i=1nxi2−2∑i=1nxiEn+nEn2由En=1n∑i=1nxi可导出，nEn=∑i=1nxi,故

F(n) = \sum_{i=1}^ {n}{(x_i^ 2-E_n)} = \sum_{i=1}^ {n}{x_i^ 2}-2\sum_{i=1}^ {n}{x_iE_n}+nE_n^2 \\

由E_n =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^ {n}x_i可导出，nE_n = \sum_{i=1}^{n}x_i,故F(n)=i=1∑n​(xi2​−En​)=i=1∑n​xi2​−2i=1∑n​xi​En​+nEn2​由En​=n1​i=1∑n​xi​可导出，nEn​=i=1∑n​xi​,故

(4)F(n)=∑i=1nxi2−2∑i=1nxiEn+nEn2=∑i=1nxi2−2nEn2+nEn2=∑i=1nxi2−nEn2

F(n) = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2}-2\sum_{i=1}^{n}{x_iE_n}+nE_n^2 = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - 2nE_n^2 + nE_n^2 = \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - nE_n^2 \tag{4}F(n)=i=1∑n​xi2​−2i=1∑n​xi​En​+nEn2​=i=1∑n​xi2​−2nEn2​+nEn2​=i=1∑n​xi2​−nEn2​(4)

另外,平均数的递推公式有

(5)nEn=(n−1)En−1+xn

nE_n = (n-1)E_{n-1} + x_n \tag{5}nEn​=(n−1)En−1​+xn​(5)

过程推导

F(n)−F(n−1)=(∑i=1nxi2−nEn2)−(∑i=1n−1xi2−(n−1)En−12)=xn2−nEn2+(n−1)En−12

\begin{aligned}

F(n)-F(n-1) &= ( \sum_{i=1}^{n}{x_i^2} - nE_n^2)-( \sum_{i=1}^{n-1}{x_i^2} -( n-1)E_{n-1}^2) \\

&=x_n^2-nE_n^2+(n-1)E_{n-1}^2 \\

\end{aligned}F(n)−F(n−1)​=(i=1∑n​xi2​−nEn2​)−(i=1∑n−1​xi2​−(n−1)En−12​)=xn2​−nEn2​+(n−1)En−12​​

由(5)知，nEn=(n−1)En−1+xnnE_n = (n-1)E_{n-1} + x_nnEn​=(n−1)En−1​+xn​及(n−1)En−1=nEn−xn(n-1)E_{n-1} = nE_n - x_n(n−1)En−1​=nEn​−xn​，则有：

F(n)−F(n−1)=xn2−nEn2+(n−1)En−12=xn2−En[(n−1)En−1+xn]+En−1(nEn−xn)=xn2−nEnEn−1+EnEn−1−Enxn+nEn−1En−En−1xn=xn2+EnEn−1−Enxn−En−1xn=(xn−En)(xn−En−1)

\begin{aligned}

F(n)-F(n-1) &=x_n^2-nE_n^2+(n-1)E_{n-1}^2 \\

&=x_n^2-E_n[(n-1)E_{n-1}+x_n]+E_{n-1}(nE_n-x_n) \\

&= x_n^2-nE_nE_{n-1}+E_nE_{n-1}-E_nx_n+nE_{n-1}E_n-E_{n-1}x_n \\

&=x_n^2+E_nE_{n-1}-E_nx_n-E_{n-1}x_n \\

&=(x_n-E_n)(x_n-E_{n-1})

\end{aligned}F(n)−F(n−1)​=xn2​−nEn2​+(n−1)En−12​=xn2​−En​[(n−1)En−1​+xn​]+En−1​(nEn​−xn​)=xn2​−nEn​En−1​+En​En−1​−En​xn​+nEn−1​En​−En−1​xn​=xn2​+En​En−1​−En​xn​−En−1​xn​=(xn​−En​)(xn​−En−1​)​

显然有F(1)=0F(1)=0F(1)=0

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如何求协方差矩阵

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转载自：https://blog.csdn.net/kuang_liu/article/detail

本文目录

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开篇明志

平均值

方差标准差

为什么使用标准差

贝赛尔修正

公式的选择

平均值与标准差的适用范围及误用

1 协方差

二维随机变量(X，Y)，X与Y之间的协方差定义为： Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 其中：E(X)为分量X的期望，E(Y)为分量Y的期望

协方

1.协方差定义：X,Y为两个随机变量，则它们的协方差值为：这个公式的推导很简单，