现代机器人学（6）-转动的指数坐标 - 知乎 (zhihu.com)

在看该部分的时候没有理解其中轴角表示法为什么三参数指数坐标表示，本文对此进行分析讨论。

1.概述

轴角表示法是描述三维旋转的一种方法。它使用一个轴向量和一个旋转角度来唯一地确定一次旋转。

具体来说:

1. 轴向量(unit vector)表示旋转的轴线方向。

2. 旋转角度θ表示绕该轴进行的旋转角度。

轴角表示法的优点包括:

• 简单明了,易于理解和计算。

• 可以很容易地复合多次旋转。

• 避免了万向节死锁(gimbal lock)的问题。

缺点是当旋转角度接近180度时,轴向量会变得不确定和不稳定。在这种情况下,四元数表示法更加稳定可靠。

2.分析

轴角表示法之所以是三参数的指数坐标表示,主要有以下原因:

1. 三维空间中的旋转自由度是三个。一个三维旋转可以用绕三个正交坐标轴的三个旋转角度来描述。

2. 轴角表示法中,旋转是由一个轴向量(单位向量)和一个旋转角度θ唯一确定的。轴向量有三个分量(x, y, z)，旋转角度θ是一个标量。因此总共需要4个参数来描述一个旋转。

3. 但是因为轴向量是单位向量,它只有3个自由度。所以最终轴角表示法只需要3个独立参数就可以唯一确定一次三维旋转。

4. 这3个参数通常表示为指数坐标(x, y, z, θ)。其中(x, y, z)为旋转轴的方向余弦,θ为旋转角度。这种指数坐标的形式非常紧凑和方便计算。

对于四个参数的 w_hat、theta是三参数指数坐标表示，是因为 w_hat是单位旋转轴，存在一个约束：

1. 三维空间中,一个旋转可以用3个独立的欧拉角(如yaw、pitch、roll)来描述。这表明三维旋转有3个自由度。

2. 在轴角表示法中,旋转由一个单位轴向量(x, y, z)和一个旋转角度θ来描述。

3. 对于单位轴向量(x, y, z)来说,由于它是单位向量,满足:

   x^2 + y^2 + z^2 = 1

这就意味着,三个分量中只有两个是独立的,第三个可以由前两个推算出来。

1. 因此,单位轴向量(x, y, z)只有2个独立参数。

2. 再加上旋转角度θ,轴角表示法总共只需要3个独立的参数来描述一个三维旋转。

3. 通常这3个参数表示为指数坐标形式(x, y, z, θ)。其中(x, y, z)为旋转轴的方向余弦,θ为旋转角度。