今天看了秘密分享架构中的ABY架构，尤其看了Arithmetic sharing部分，对于该秘密分享机制下的加法与乘法的计算有了一定的了解，而且了解了如何通过Pailler同态加密方法产生c=axb的三元组。但是对于OT-Base产生三元组的方法不太了解，明天会对非对称加密体系，安全分享公钥的方法还有Diffie-Hellman算法进行学习以求更加熟悉OT-Base办法

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论文：ABY - A Framework for efficient Mixed-Protocol Secure Two-Party Computation

1). Share Semantics:

1. Shared values:

对于一个数$x$的l字节Arithmetic共享$⟨x{⟩}^A$，我们有
$$⟨x{⟩}_0^A+⟨x{⟩}_1^A=⟨x{⟩}^A,⟨x{⟩}_0^A,⟨x{⟩}_1^A\in Z_{2^l}$$

2. Sharing:

定义$Shr{i}_i^A(x):$ $P_i$随机选$r\in Z_{2^l},$ 令$⟨x{⟩}_i^A=x-r$，并发送r给$P_{1-i}$，$P_{1-i}$ 将$⟨x{⟩}_{1-i}^A$ 设为r

3. Reconstruction:

定义$Re{c}_i^A(x):$ $P_{1-i}$ 将$⟨x{⟩}_{1-i}^A$给$P_i$，$P_i$计算$x=⟨x{⟩}_0^A+⟨x{⟩}_1^A$

2). Operations:

1. Addition

需要计算$⟨z{⟩}^A=⟨x{⟩}^A+⟨y{⟩}^A$，只需要$P_i$本地计算$⟨z{⟩}_i^A=⟨x{⟩}_i^A+⟨y{⟩}_i^A$

2. Multiplication

需要计算$⟨z{⟩}^A=⟨x{⟩}^A⟨y{⟩}^A$

初始状态：

$A:⟨x{⟩}_0^A,⟨y{⟩}_0^A$

$B:⟨x{⟩}_1^A,⟨y{⟩}_1^A$

目标状态：

$A:⟨z{⟩}_0^A$

$B:⟨z{⟩}_1^A$

$s.t.⟨z{⟩}_0^A+⟨z{⟩}_1^A=⟨z{⟩}_A=⟨x{⟩}_A\times ⟨y{⟩}_A$

方案如下：

1. 准备三元组$(a,b,c=a\times b)$ 然后将$(a,b,c=a\times b)$ 加法共享给$P_0,P_1$(具体方案会在之后介绍)

   $A:⟨x{⟩}_0^A,⟨y{⟩}_0^A,⟨a{⟩}_0^A,⟨b{⟩}_0^A,⟨c{⟩}_0^A$

   $B:⟨x{⟩}_1^A,⟨y{⟩}_1^A,⟨a{⟩}_1^A,⟨b{⟩}_1^A,⟨c{⟩}_1^A$

2. 两方各自计算$⟨e{⟩}_i^A=⟨x{⟩}_i^A-⟨a{⟩}_i^A,⟨f{⟩}_i^A=⟨y{⟩}_i^A-⟨b{⟩}_i^A$（盲化$⟨x⟩,⟨y⟩$）

   $A:⟨x{⟩}_0^A,⟨y{⟩}_0^A,⟨a{⟩}_0^A,⟨b{⟩}_0^A,⟨c{⟩}_0^A,⟨e{⟩}_0^A,⟨f{⟩}_0^A$

   $B:⟨x{⟩}_1^A,⟨y{⟩}_1^A,⟨a{⟩}_1^A,⟨b{⟩}_1^A,⟨c{⟩}_1^A,⟨e{⟩}_1^A,⟨f{⟩}_1^A$

3. 双方共享自己的$⟨e⟩,⟨f⟩$

   $A:⟨x{⟩}_0^A,⟨y{⟩}_0^A,⟨a{⟩}_0^A,⟨b{⟩}_0^A,⟨c{⟩}_0^A,⟨e{⟩}^A,⟨f{⟩}^A$

   $B:⟨x{⟩}_1^A,⟨y{⟩}_1^A,⟨a{⟩}_1^A,⟨b{⟩}_1^A,⟨c{⟩}_1^A,⟨e{⟩}^A,⟨f{⟩}^A$

4. 计算$⟨z{⟩}_0^A=f\times ⟨a{⟩}_0^A+e\times ⟨b{⟩}_0^A+⟨c{⟩}_0^A$与$⟨z{⟩}_1^A=e\times f+f\times ⟨a{⟩}_1^A+e\times ⟨b{⟩}_1^A+⟨c{⟩}_1^A$

   故有$⟨z{⟩}^A+⟨z{⟩}^B=e\times f+f\times a+e\times b+c=x\times y$

3. 生成三元组$(a,b,c=a\times b)$

(1). 通过同态加密实现

注释：Pailler同态加密指的是$En{c}_0(a+b)=En{c}_0(a)\times En{c}_0(b)$

初始状态：$P_0,P_1$分别随机$⟨a{⟩}_0^A,⟨a{⟩}_1^A,⟨b{⟩}_0^A,⟨b{⟩}_1^A$，$P_1$随机一个随机数$r$

需要获得一个$⟨c{⟩}^A,⟨c{⟩}_1^A$，使得$⟨c{⟩}_0^A+⟨c{⟩}_1^A=⟨c{⟩}^A=⟨a{⟩}^A⟨b{⟩}^A=(⟨a{⟩}_0^A+⟨a{⟩}_1^A)(⟨b{⟩}_0^A+⟨b{⟩}_1^A)$

方案如下：

1. $P_0$发送给$P_1$: $En{c}_0(⟨a{⟩}_0^A),En{c}_0(⟨b{⟩}_0^A)$

   $P_0:⟨a{⟩}_0^A,⟨b{⟩}_0^A$

   $P_1:⟨a{⟩}_0^A,⟨b{⟩}_1^A,r,En{c}_0(⟨a{⟩}_0^A),En{c}_0(⟨b{⟩}_0^A)$

2. $P_1$发给$P_0$:

   $d=En{c}_0(⟨a{⟩}_0^A{)}^{⟨b{⟩}_1^A}\times En{c}_0(⟨b{⟩}_0^A{)}^{⟨a{⟩}_1^A}\times En{c}_0(r)$

3. $P_0$计算$⟨c{⟩}_0^A=⟨a{⟩}_0^A⟨b{⟩}_0^A+De{c}_0(d)=⟨a{⟩}_0^A⟨b{⟩}_0^A+⟨a{⟩}_0^A⟨b{⟩}_1^A+⟨a{⟩}_1^A⟨b{⟩}_0^A+r$

4. $P_1$计算

   $⟨c{⟩}_1^A=⟨a{⟩}_1^A⟨b{⟩}_1^A-r$

(2).通过OT实现

暂时还不会 明天看！