Author:龙箬
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2023第一篇

硬件厂商XYZ公司宣称他们最新研制的微处理器运行速度为其竞争对手ABC公司的同类产品的100倍。对于计算机复杂性分别为$n$, $n^2$,$n^3$,和$n!$的各算法,若用ABC公司的计算机在1h内分别能解输入规模为n问题,那么用XYZ公司的计算机在1h内分别能解输入规模为多大的问题?

解：设ABC公司的微处理器运算速度为x
令XYZ公司的计算机在1h内分别能解的问题规模为$n^{{}^{\prime }}$
当计算复杂性为 $n$ 时，则$n^{{}^{\prime }}$ = $100n$
当计算复杂性为 $n^2$ 时，则${n^{{}^{\prime }}}^2$ = $100n^2$
$n^{{}^{\prime }}$= $10n$
当计算复杂性为 $n^3$ 时，则${n^{{}^{\prime }}}^3$ = $100n^3$
$n^{{}^{\prime }}$ = $\sqrt[3]{100}n$ = $4.64n$
当计算复杂性为 $n!$ 时，则$n^{{}^{\prime }}!$ = $100n!$
令$ln100$ = $k$ 则$e^k$= $100$
$n^{{}^{\prime }}!$ = $100n!$
即$n^{{}^{\prime }}\ast (n^{{}^{\prime }}-1)\ast ...\ast (n+1)$=$e^k$
∵$n^{{}^{\prime }}\ast (n^{{}^{\prime }}-1)\ast ...\ast (n+1)$ > $n^{(n^{{}^{\prime }}-n)}$
∴$e^k$> $n^{(n^{{}^{\prime }}-n)}$> $e^{(n^{{}^{\prime }}-n)}$ $(n>>e)$
∴$k$ > $(n^{{}^{\prime }}-n)$
即$n^{{}^{\prime }}<n+k=n+ln100=n+6.64$
∴ 当计算复杂性为 $n$，$n^2$，$n^3$，$n!$ 时，XYZ公司分别能解决的问题规模为 $100n$，$10n$，$4.64n$，$n+6.64$

参考致谢：
国科大 马丙鹏老师《计算机算法设计与分析》

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